Сфероид Маклорена

Сфероид Маклорена — это сплюснутый сфероид , который возникает, когда самогравитирующее жидкое тело однородной плотности вращается с постоянной угловой скоростью. Этот сфероид назван в честь шотландского математика Колина Маклорена , который сформулировал его для формы Земли в 1742 году. На самом деле фигура Земли гораздо менее сплюснута, чем предполагает формула Маклорена, поскольку Земля не однородна, а имеет плотное железное ядро. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью вращающихся эллипсоидальных фигур, находящихся в гидростатическом равновесии, поскольку он предполагает однородную плотность.

Формула Маклорена

Угловая скорость сфероида Маклорена как функция эксцентриситета

Для сфероида с большой экваториальной полуосью $a$ и полярная малая полуось $c$, угловая скорость $\Omega$ о $c$ определяется формулой Маклорена

${\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}}(3-2e^{2})\sin ^{-1}e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},$

где $e$ – эксцентриситет меридиональных сечений сфероида, $\rho$ плотность и $G$ является гравитационной постоянной . Формула предсказывает две возможные фигуры равновесия, одна из которых приближается к сфере ( $e\rightarrow 0$) когда $\Omega \rightarrow 0$ и другой, приближающийся к очень сплюснутому сфероиду ( $e\rightarrow 1$) когда $\Omega \rightarrow 0$. Максимальная угловая скорость возникает при эксцентриситете $e=0.92996$ и его значение $\Omega ^{2}/(\pi G\rho )=0.449331$, так что выше этой скорости не существует равновесных фигур. Угловой момент $L$ является

${\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac {a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad {\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}$

где $M$ - масса сфероида и ${\bar {a}}$ — средний радиус , радиус сферы того же объема, что и сфероид.

Стабильность

Для сфероида Маклорена с эксцентриситетом более 0,812670, эллипсоид Якоби с тем же угловым моментом имеет меньшую полную энергию. Если такой сфероид состоит из вязкой жидкости (или в присутствии реакции гравитационного излучения) и если он испытывает возмущение, нарушающее его вращательную симметрию, то он постепенно удлинится до эллипсоидной формы Якоби, рассеивая при этом свою избыточную энергию как тепло (или гравитационные волны ). Это называется вековой нестабильностью ; см. нестабильность Робертса-Стюартсона и нестабильность Чандрасекара-Фридмана-Шютца . Однако для аналогичного сфероида, состоящего из невязкой жидкости (или при отсутствии реакции излучения), возмущение приведет лишь к незатухающему колебанию. Это описывается как динамическая (или обычная ) стабильность .

Сфероид Маклорена с эксцентриситетом более 0,952887. является динамически неустойчивым. Даже если он состоит из невязкой жидкости и не имеет средств для потери энергии, подходящее возмущение будет расти (по крайней мере, вначале) экспоненциально. Динамическая нестабильность подразумевает вековую нестабильность (а вековая стабильность подразумевает динамическую стабильность).

См. также

• Эллипсоид Якоби
• Сфероид
• Эллипсоид