Стратегические дополнения

В экономике и теории игр решения двух или более игроков называются стратегическими дополнениями , если они взаимно усиливают друг друга, и стратегическими заменителями, если они взаимно компенсируют друг друга. Эти термины были первоначально придуманы Бюловом, Геанакоплосом и Клемперером (1985). ^[1]

Чтобы понять, что подразумевается под «усилением» или «компенсацией», рассмотрим ситуацию, в которой всем игрокам приходится делать одинаковый выбор, как в статье Бюлова и др., где все игроки представляют собой фирмы с несовершенной конкуренцией, каждая из которых должна принять решение. сколько производить. Тогда производственные решения являются стратегическими дополнениями, если увеличение производства одной фирмы увеличивает предельные доходы других, поскольку это дает остальным стимул производить больше. Обычно это так, если имеется достаточно сильная совокупная возрастающая отдача от масштаба и/или кривые спроса на продукцию фирм имеют достаточно низкую эластичность по собственной цене . С другой стороны, производственные решения являются стратегическими заменителями, если увеличение выпуска одной фирмы снижает предельные доходы других, давая им стимул производить меньше.

По мнению Рассела Купера и Эндрю Джона, стратегическая взаимодополняемость является основным свойством, лежащим в основе примеров множественного равновесия в координационных играх . ^[2]

Формулировка исчисления

Математически рассмотрим симметричную игру с двумя игроками, каждый из которых имеет функцию выигрыша. $\,\Pi (x_{i},x_{j})$ , где $\,x_{i}$ представляет собой собственное решение игрока, и $\,x_{j}$ представляет решение другого игрока. Предполагать $\,\Pi$ увеличивается и вогнута в собственной стратегии игрока $\,x_{i}$ . Согласно этим предположениям, два решения являются стратегически дополняющими друг друга, если увеличение собственного решения каждого игрока $\,x_{i}$ увеличивает предельный выигрыш ${\frac {\partial \Pi _{j}}{\partial x_{j}}}$ другого игрока. Другими словами, решения являются стратегическими дополнениями, если вторая производная ${\frac {\partial ^{2}\Pi _{j}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}$ является положительным для $i\neq j$ . Эквивалентно это означает, что функция $\,\Pi$ является супермодульным .

С другой стороны, решения являются стратегическими заменителями, если ${\frac {\partial ^{2}\Pi _{j}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}$ отрицательно, то есть, если $\,\Pi$ является субмодулярным .

Пример

В своей оригинальной статье Бюлов и др. используйте простую модель конкуренции между двумя фирмами, чтобы проиллюстрировать свои идеи. Выручка фирмы x при темпах производства $(x_{1},x_{2})$ дается

U_{x}(x_{1},x_{2};y_{2})=p_{1}x_{1}+(1-x_{2}-y_{2})x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}/2-F

в то время как выручка фирмы y с уровнем производства $y_{2}$ на рынке 2 определяется выражением

U_{y}(y_{2};x_{1},x_{2})=(1-x_{2}-y_{2})y_{2}-y_{2}^{2}/2-F

При любом внутреннем равновесии $(x_{1}^{*},x_{2}^{*},y_{2}^{*})$ , мы должны иметь

{\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{1}}}=0,{\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{2}}}=0,{\dfrac {\partial U_{y}}{\partial y_{2}}}=0.

Используя векторное исчисление, геометрическую алгебру или дифференциальную геометрию, Бюлов и др. показало, что чувствительность равновесия Курно к изменениям $p_{1}$ можно вычислить через вторые частные производные функций выигрыша:

{\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial y_{2}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{2}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial y_{2}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{1}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial p_{1}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}

Когда $1/4\leq p_{1}\leq 2/3$ ,

{\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1&0\\-1&-3&-1\\0&-1&-3\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}8\\-3\\1\end{bmatrix}}

Таким образом, по мере увеличения цены на рынке 1 фирма x продает больше на рынке 1 и меньше на рынке 2, в то время как фирма y продает больше на рынке 2. Если равновесие Курно этой модели рассчитано явно, мы найдем

x_{1}^{*}=\max \left\{0,{\frac {8p_{1}-2}{5}}\right\},x_{2}^{*}=\max \left\{0,{\frac {2-3p_{1}}{5}}\right\},y_{2}^{*}={\frac {p_{1}+1}{5}}.

Супермодульные игры

Игру со стратегическими дополнениями также называют супермодульной игрой . Впервые это было формализовано Топкисом. ^[3] и изучен Вивесом. ^[4] Существуют эффективные алгоритмы для нахождения равновесий Нэша в чистой стратегии в таких играх. ^[5]^[6]

См. также

Ссылки

^ Дж. Бюлоу, Дж. Геанакоплос и П. Клемперер (1985), «Мультирыночная олигополия: стратегические заменители и стратегические дополнения». Журнал политической экономии 93, стр. 488–511, https://www.jstor.org/stable/1832005 .
^ Рассел Купер и Эндрю Джон (1988), «Нарушение координации в кейнсианских моделях». Ежеквартальный экономический журнал 103 (3), стр. 441–63.
^ Топкис, Дональд М. (1 ноября 1979 г.). «Точки равновесия в субмодульных играх n лиц с ненулевой суммой» . SIAM Journal по контролю и оптимизации . 17 (6): 773–787. дои : 10.1137/0317054 . ISSN 0363-0129 .
^ Вивес, Ксавье (1 января 1990 г.). «Равновесие Нэша со стратегической взаимодополняемостью» . Журнал математической экономики . 19 (3): 305–321. дои : 10.1016/0304-4068(90)90005-Т . ISSN 0304-4068 .
^ Эченике, Федерико (1 июля 2007 г.). «Нахождение всех равновесий в играх стратегических дополнений» . Журнал экономической теории . 135 (1): 514–532. дои : 10.1016/j.jet.2006.06.001 . ISSN 0022-0531 .
^ Данг, Чуангинь; Ци, Ци; Йе, Иньюй (01.05.2020). Вычисления и сложности неподвижных точек Тарского и супермодульных игр (Отчет). arXiv.org.

[1] Дж. Бюлоу, Дж. Геанакоплос и П. Клемперер (1985), «Мультирыночная олигополия: стратегические заменители и стратегические дополнения». Журнал политической экономии 93, стр. 488–511, https://www.jstor.org/stable/1832005 .

[2] Рассел Купер и Эндрю Джон (1988), «Нарушение координации в кейнсианских моделях». Ежеквартальный экономический журнал 103 (3), стр. 441–63.

[3] Топкис, Дональд М. (1 ноября 1979 г.). «Точки равновесия в субмодульных играх n лиц с ненулевой суммой» . SIAM Journal по контролю и оптимизации . 17 (6): 773–787. дои : 10.1137/0317054 . ISSN 0363-0129 .

[4] Вивес, Ксавье (1 января 1990 г.). «Равновесие Нэша со стратегической взаимодополняемостью» . Журнал математической экономики . 19 (3): 305–321. дои : 10.1016/0304-4068(90)90005-Т . ISSN 0304-4068 .

[5] Эченике, Федерико (1 июля 2007 г.). «Нахождение всех равновесий в играх стратегических дополнений» . Журнал экономической теории . 135 (1): 514–532. дои : 10.1016/j.jet.2006.06.001 . ISSN 0022-0531 .

[:0-6] Данг, Чуангинь; Ци, Ци; Йе, Иньюй (01.05.2020). Вычисления и сложности неподвижных точек Тарского и супермодульных игр (Отчет). arXiv.org.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]