Струна, опоясывающая Землю

Струна, опоясывающая Землю , — это математическая головоломка с нелогичным решением. В одной из версий этой головоломки веревка туго обмотана вокруг экватора идеально сферической Земли. Если веревку нужно поднять на 1 метр (3 фута 3 дюйма) над землей вдоль экватора, насколько длиннее будет веревка?

Альтернативно, 1 метр (3 фута 3 дюйма) веревки сращивается с исходной струной, а удлиненная струна переставляется так, чтобы она находилась на одинаковой высоте над экватором. Тогда возникает вопрос, позволит ли зазор между струной и Землей пройти машине, кошке или тонкому лезвию ножа.

Решение

Поскольку струну необходимо поднять по всей окружности длиной 40 000 км (25 000 миль), можно ожидать, что дополнительная струна будет натянута на несколько километров. Удивительно, но ответ: 2 $π$ м или около 6,3 метра (21 фут).

Во второй формулировке, учитывая, что 1 метр (3 фута 3 дюйма) почти ничтожен по сравнению с окружностью в 40 000 км (25 000 миль), первый ответ может заключаться в том, что новое положение струны не будет отличаться от исходной поверхности. обнимающая позиция. Ответ в том, что кошка легко пройдет через щель, размер которой будет ⁠ 1/2 метра или около 16 см ( $π$ ⁠ 6,3 дюйма).

Еще более удивительным является то, что размер сферы или круга, вокруг которого натянута нить, не имеет значения и может быть любым — от размера атома до Млечного Пути — результат зависит только от того, насколько она поднята. Более того, как и в задаче о катании монеты , форма, которую опоясывает струна, не обязательно должна быть кругом: $2 π$ добавляется смещение, умноженное на , если это любой простой многоугольник или замкнутая кривая, которая не пересекает сама себя. Если форма сложная 2 $π,$ умноженное на смещение, умноженное на абсолютное значение числа поворотов . , необходимо добавить ^{[ 1 ]}

Эта диаграмма дает визуальный аналог использования квадрата: независимо от размера квадрата добавленный периметр представляет собой сумму четырех синих дуг, круга с тем же радиусом, что и смещение.

Более формально, пусть c — окружность Земли, r — ее радиус, Δc — добавленная длина струны и Δr — добавленный радиус. Поскольку окружность радиуса R имеет длину окружности 2 $π$ R ,

{{{аннотации}}}

Фотография, показывающая смещение между стартовыми линиями легкоатлетической дорожки.

{\begin{aligned}c+\varDelta c&=2\pi (r+\varDelta r)\\2\pi r+\varDelta c&=2\pi r+2\pi \varDelta r\\\varDelta c&=2\pi \varDelta r\\\therefore \;\varDelta r&={\frac {\varDelta c}{2\pi }}\end{aligned}}

независимо от значения c .

Это наблюдение также означает, что легкоатлетическая дорожка имеет одинаковое смещение между стартовыми линиями на каждой дорожке, равное 2 $π,$ умноженным на ширину дорожки, независимо от того, является ли окружность внутренней дорожки стандартными 400 м (1300 футов) или размером галактика.

См. также

Визуальное исчисление — интуитивный способ решения задач такого типа, первоначально применявшийся для определения площади кольцевого пространства , учитывая только его хорды . длину
Проблема с кольцами для салфеток , еще одна проблема, в которой радиус сферы, как ни странно, не имеет значения.

Ссылки

^ Ньюман, Джеймс Рой (2000). Мир математики, Том 4 . Публикации Courier Dover. п. 2436. ИСБН 0-486-41152-4 . , с. 2436

[1] Ньюман, Джеймс Рой (2000). Мир математики, Том 4 . Публикации Courier Dover. п. 2436. ИСБН 0-486-41152-4 . , с. 2436

[ 1 ]