Проблема с кольцами для салфеток

Если отверстие высотой $h$ просверливается прямо через центр сферы, объем оставшейся полосы не зависит от размера сферы. Для сферы большего размера полоса будет тоньше, но длиннее.

Анимация разрезанного кольца для салфеток постоянной высоты

В геометрии заключается задача о кольце для салфеток в нахождении объема «полосы» заданной высоты вокруг сферы , то есть той части, которая остается после того, как в центре сферы просверлено отверстие в форме круглого цилиндра. сферы Парадоксальным является тот факт, что этот объем не зависит от исходного радиуса , а только от высоты результирующей полосы.

Проблема названа так потому, что после удаления цилиндра из сферы оставшаяся полоса напоминает по форме кольцо для салфетки .

Заявление

Предположим, что ось прямого кругового цилиндра проходит через центр сферы радиуса $R$ и это $h$ представляет высоту (определяемую как расстояние в направлении, параллельном оси) части цилиндра, находящейся внутри сферы. «Полоса» — это часть сферы, находящаяся за пределами цилиндра. Громкость группы зависит от $h$ но не на $R$: $$V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.$$

Поскольку радиус $R$ сферы сжимается, диаметр цилиндра тоже должен уменьшаться, чтобы $h$ может остаться прежним. Полоса становится толще, и это увеличит ее объем. Но он также становится короче в окружности, и это уменьшит его объем. Эти два эффекта полностью нейтрализуют друг друга. В предельном случае наименьшей возможной сферы цилиндр исчезает (его радиус становится нулевым) и высота $h$ равен диаметру сферы. В этом случае объем полосы равен объему всей сферы , что соответствует формуле, приведенной выше.

Раннее исследование этой проблемы было написано японским математиком 17-го века Секи Кова . Согласно Смиту и Миками (1914) , Секи назвал это тело дуговым кольцом, или по- японски кокан или кокван .

Доказательство

Предположим, что радиус сферы равен $R$ а длина цилиндра (или туннеля) равна $h$.

По теореме Пифагора радиус цилиндра равен

Нахождение размеров кольца, которое представляет собой горизонтальное сечение.

$${\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)$$а радиус горизонтального сечения сферы на высоте $y$ над «экватором» находится $${\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)$$

Сечение высоте ленты плоскостью на $y$ - это область внутри большего круга радиуса, заданного (2), и вне меньшего круга радиуса, заданного (1). Таким образом, площадь поперечного сечения равна площади большего круга минус площадь меньшего круга: $${\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{larger radius}})^{2}-\pi ({\text{smaller radius}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}$$

Радиус R не фигурирует в последней величине. Следовательно, площадь горизонтального сечения на высоте $y$ не зависит от $R$, пока $y\leq {\tfrac {h}{2}}\leq R$. Громкость группы

$\int _{-h/2}^{h/2}({\text{area of cross-section at height }}y)\,dy,$

и это не зависит от $R$.

Это применение принципа Кавальери : объемы с одинаковыми поперечными сечениями равны. Действительно, площадь поперечного сечения такая же, как площадь соответствующего сечения сферы радиуса $h/2$, который имеет объем $${\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.$$

См. также

• Визуальное исчисление — интуитивный способ решения задач такого типа, первоначально применявшийся для нахождения площади кольцевого пространства , учитывая только его хорды . длину
• Струна, опоясывающая Землю , — еще одна проблема, в которой радиус сферы или круга, как ни странно, не имеет значения.

Дальнейшее чтение

• Девлин, Кейт (2008), Проблема с кольцами для салфеток , Математическая ассоциация Америки , заархивировано из оригинала 30 апреля 2008 г. , получено 25 февраля 2009 г.
• Девлин, Кейт (2008), Плач Локхарта , Математическая ассоциация Америки , заархивировано из оригинала 10 мая 2008 г. , получено 25 февраля 2009 г.
• Гарднер, Мартин (1994), «Дыра в сфере», Мои лучшие математические и логические головоломки , Dover Publications , стр. 8
• Джонс, Сэмюэл И. (1912), Математические морщины для учителей и частных учеников , Норвуд, Массачусетс: JB Cushing Co. Задача 132 запрашивает объем сферы с просверленным в ней цилиндрическим отверстием, но не отмечает инвариантности проблема при изменении радиуса.
• Леви, Марк (2009), «6.3 Сколько золота в обручальном кольце?», Математическая механика: использование физического рассуждения для решения проблем , Princeton University Press, стр. 102–104, ISBN  978-0-691-14020-9 . Леви утверждает, что объем зависит только от высоты отверстия, основываясь на том факте, что кольцо можно вытянуть полудиском, высота которого равна его диаметру.
• Лайнс, Л. (1965), Твердотельная геометрия: с главами о пространственных решетках, пакетах сфер и кристаллах , Дувр . Перепечатка издания 1935 года. Задача на странице 101 описывает форму сферы с удаленным цилиндром как «кольцо для салфеток» и требует доказательства того, что объем такой же, как у сферы с диаметром, равным длине отверстия.
• Полиа, Джордж (1990), Математика и правдоподобные рассуждения , Vol. I: Индукция и аналогия в математике , Princeton University Press, стр. 191–192 . Перепечатка издания 1954 года.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Сферическое кольцо» , MathWorld