Конечное преобразование Лежандра

Конечное преобразование Лежандра (fLT) преобразует математическую функцию, определенную на конечном интервале, в ее спектр Лежандра . И наоборот, обратный fLT (ifLT) восстанавливает исходную функцию из компонентов спектра Лежандра и полиномов Лежандра , которые ортогональны на интервале [−1,1]. В частности, предположим, что функция x ( t ) определена на интервале [−1,1] и дискретизирована на N равноотстоящих друг от друга точек на этом интервале. Затем fLT дает разложение x ( t ) на его спектральные компоненты Лежандра:

$L_{x}(k)={\frac {2k+1}{N}}\sum _{t=-1}^{t=1}x(t)P_{k}(t),$

где множитель (2 k + 1)/ N служит нормировочным коэффициентом, а L _x ( k ) дает вклад k -го полинома Лежандра в x ( t ) такой, что (ifLT)

$x(t)=\sum _{k}L_{x}(k)P_{k}(t).$

FLT не следует путать с преобразованием Лежандра или преобразованием Лежандра, используемым в термодинамике и квантовой физике.

Фильтр Лежандра

fLT зашумленного экспериментального результата s ( t ) и последующее применение обратного fLT (ifLT) к соответствующим образом усеченному лежандровскому спектру s ( t ) дает сглаженную версию s ( t ). Таким образом, fLT и неполный ifLT действуют как фильтр. В отличие от обычного фильтра нижних частот Фурье , который передает низкочастотные гармоники и отфильтровывает высокочастотные гармоники, фильтр нижних частот Лежандра передает компоненты сигнала, пропорциональные полиномам Лежандра низкой степени, в то время как компоненты сигнала, пропорциональные полиномам Лежандра более высокой степени, отфильтровываются.

Дальнейшее чтение

• Батцер, Пол Л. (1983). «Методы преобразования Лежандра в решении основных задач алгебраического приближения». Функции, ряды, операторы, Учеб. инт. Конференция, Будапешт, 1980, Том. Я. ​Коллок. Математика. Соц. Янош Бояи. Том. 35. С. 277–301. Збл   0567.41010 .