Тестирование местоположения для распределения смеси в гауссовском масштабе
В статистике тема тестирования местоположения для распределений смеси в гауссовском масштабе возникает в некоторых конкретных типах ситуаций, когда более стандартный t-критерий Стьюдента неприменим. В частности, эти случаи позволяют тесты местоположения проводить , где предположение о том, что выборочные наблюдения возникают из популяций, имеющих нормальное распределение, может быть заменено предположением, что они возникают из распределения смеси гауссового масштаба. Класс распределений смеси гауссовского масштаба содержит все симметричные устойчивые распределения , распределения Лапласа , логистические распределения , экспоненциальные степенные распределения и т. д. [1] [2]
Представлять
- т Г п ( х ),
аналог t-распределения Стьюдента для смесей гауссовского масштаба. Это означает, что если мы проверим нулевую гипотезу о том, что центр распределения смеси в гауссовском масштабе равен, скажем, 0, то t n Г ( x ) ( x ≥ 0) — нижняя грань всех монотонных неубывающих функций u ( x ) ≥ 1/2, x ≥ 0 таких, что если критические значения теста равны u −1 (1 − α ), то уровень значимости не превышает α ≥ 1/2 для всех распределений смеси гауссовского масштаба [ t Г п (х) = 1 - т Г n (− x ), для x < 0]. Явная формула для t Г n ( x ), задается в статьях в ссылках в терминах t-распределений Стьюдента , t k , k = 1, 2, ..., n . Представлять
- Ф Г ( x ):= lim n → ∞ t Г п ( х ),
аналог смеси гауссовского масштаба стандартной нормальной кумулятивной функции распределения Φ(x).
Теорема Φ Г ( x ) = 1/2 для 0 ≤ x < 1, Φ Г (1) = 3/4, Ф Г ( Икс ) знак равно C ( Икс /(2 - Икс 2 ) 1/2 ) для квантилей от 1/2 до 0,875, где C ( x ) — стандартная кумулятивная функция распределения Коши . Это выпуклая часть кривой Φ Г ( x ), x ≥ 0, за которым следует линейный участок Φ Г ( x ) = x /(2 √ 3 ) + 1/2 для 1,3136... < x < 1,4282... Таким образом, 90%-ный квантиль равен ровно 4 √ 3/5 . Самое главное,
- Ф Г ( Икс ) знак равно Φ( Икс ) для Икс ≥ √ 3 .
Обратите внимание, что Φ( √ 3 ) = 0,958..., таким образом, классический 95% доверительный интервал для неизвестного ожидаемого значения гауссовских распределений покрывает центр симметрии с вероятностью не менее 95% для смешанных распределений гауссовского масштаба. С другой стороны, 90%-ный квантиль Φ Г ( x ) равно 4 √ 3/5 = 1,385... > Φ −1 (0,9) = 1,282... В приложениях важны следующие критические значения: 0,95 = Φ(1,645) = Φ Г (1,651) и 0,9 = Φ(1,282) = Φ Г (1.386). [3]
Распространение теоремы на все симметричные унимодальные распределения можно начать с классического результата Александра Хинчина , а именно: все симметричные унимодальные распределения представляют собой масштабные смеси симметричных однородных распределений.распределения.
Открытая проблема
[ редактировать ]Аналог приведенной выше теоремы для класса всех симметричных распределений или, что то же самое, для класса масштабных смесей случайных величин подбрасывания монеты, приводит к следующей проблеме: [4]
- Сколько вершин n -мерного единичного куба можно покрыть сферой заданного радиуса r (с меняющимся центром)? Ответьте на этот вопрос для всех положительных целых чисел n и всех положительных действительных чисел r . (Некоторые частные случаи легко вычислить.)
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Эндрюс, Д. и К. Маллоуз, К. (1974) «Масштабные смеси нормальных распределений», Журнал Королевского статистического общества , 36, 99–102 JSTOR 2984774
- ^ Вест, М. (1987) «Масштабные смеси нормального распределения», Biometrika , 74 (3), 646–648. два : 10.1093/biomet/74.3.646
- ^ Бакиров, НК и Секели, GJ (2005). «Т-критерий Стьюдента для смесей гауссовского масштаба» ( альтернативная ссылка ) Записки научных семинаров ПОМИ, 328, Вероятность и статистика. Часть 9 (редактор В.Н.Судаков) 5–19. Перепечатано (2006 г.): Журнал математических наук , 139 (3) 6497–6505. два : 10.1007/s10958-006-0366-5 .
- ^ Секели, GJ (2004/2006). «Т-критерий Стьюдента для ошибок смешения масштабов» , Оптимальность: Второй симпозиум Эриха Л. Лемана , 19–22 мая 2004 г., Университет Райса, изд. Рохо, Дж. Конспекты лекций — серия монографий, номер 49, Бичвуд, Огайо, Институт математической статистики, 10–18. дои : 10.1214/074921706000000365 .