сюжет Саутвелла

График Саутвелла построен на основе прямой линии, соответствующей экспериментальным точкам данных.

График Саутвелла представляет собой графический метод конструкции экспериментального определения критической нагрузки без необходимости подвергать конструкцию нагрузкам, близким к критическим. Методика может быть использована для неразрушающего контроля любых элементов конструкции , которые могут выйти из строя из-за потери устойчивости .

Критическая нагрузка

Участок Саутвелла.

Рассмотрим свободно опертую балку, находящуюся под сжимающей P. нагрузкой Дифференциальное уравнение равновесия имеет вид

${\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(v-v^{o})=0$, $\alpha ^{2}={\frac {P}{EI}}$

где v ^тот – начальный прогиб, а граничные условия :

$v(0)=v^{''}(0)=v(L)=v^{''}(L)=0$

Предполагая, что отклоненную форму можно выразить в виде ряда Фурье

$v^{o}(x)=\sum _{1}^{\infty }v_{n}^{o}\sin {\frac {n\pi x}{L}}$, $v(x)=\sum _{1}^{\infty }v_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}$

Тогда после подстановки в дифференциальное уравнение

$v(x)=\sum _{1}^{\infty }{\frac {v_{n}^{o}}{P_{n}/P-1}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}$, $P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{L^{2}}}$

Это связывает отклоненную форму с первоначальными дефектами и приложенной нагрузкой. В частности, при x = L /2

$v(L/2)=V_{1}-V_{3}+V_{5}+...$, $V_{n}={\frac {v_{n}^{o}}{P_{n}/P-1}}$

Когда P приближается к P ₁ , v ( L /2) доминирует над V ₁ . Поэтому, когда П $\approx$P ₁ , то основная мода будет доминировать, что приведет к

$v=V_{1}={\frac {v_{1}^{o}}{P_{1}/P-1}}or{\frac {v}{P}}={\frac {v}{P_{c}}}+{\frac {v_{i}^{o}}{P_{c}}}$

Саутвелл строит график зависимости v / P от v и получает P ₁ = P _{критический} = P _c из наклона прогнозируемого линейного графика.

Этот анализ был выполнен для конкретной точки свободно опертой балки , но концепцию можно распространить на произвольные конструкции. Для любой задачи, математическим аналогом которой является то же обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, что и выше, с аналогичными граничными условиями, первое собственное значение соответствующей однородной задачи можно получить из наклона графика. Поэтому можно выбрать точку большого прогиба, причем она не обязательно должна быть центром свободно опертой балки.

Схематическое изображение упругой колонны, которая демонстрирует «классическую» изгибную устойчивость под действием осевой нагрузки P. Боковое смещение u измеряется (относительно исходной, возможно, искривленной конфигурации) вблизи места, где модальное смещение максимально.

Приложения

Строго говоря, график Саутвелла применим только к конструкциям с нейтральным путем после потери устойчивости. Первоначально созданный для решения проблем устойчивости при потере устойчивости колонны, метод Саутвелла также использовался для определения критических нагрузок в экспериментах по потере устойчивости рамы и плиты.

Этот метод особенно полезен для полевых испытаний конструкций, которые могут быть повреждены в результате приложения нагрузок, близких к критической нагрузке и выше, таких как железобетонные колонны или современные композитные материалы . Этот метод также позволяет минимизировать паразитные эффекты в экспериментах и ​​давать значения, более близкие к теоретически ожидаемым значениям. Например, в реальной экспериментальной установке невозможно идеально воспроизвести какое-либо теоретическое граничное условие. Кроме того, результаты испытаний на сжатие могут быть очень чувствительны к дефектам и фактическим граничным условиям. Поэтому измеренная критическая нагрузка в ходе эксперимента может сильно отличаться от прогнозируемой.