Многомерная задача Беренса – Фишера

В статистике многомерная проблема Беренса-Фишера — это проблема проверки равенства средних значений двух многомерных нормальных распределений, когда ковариационные матрицы неизвестны и, возможно, не равны. Поскольку это обобщение одномерной задачи Беренса-Фишера , оно наследует все трудности, возникающие в одномерной задаче.

Обозначения и формулировка задачи

Позволять $X_{ij}\sim {\mathcal {N}}_{p}(\mu _{i},\,\Sigma _{i})\ \ (j=1,\dots ,n_{i};\ \ i=1,2)\$ быть независимыми случайными выборками из двух $p$-вариации нормальных распределений с неизвестными средними векторами $\mu _{i}$ и неизвестные матрицы дисперсии $\Sigma _{i}$. Индекс $i$ относится к первой или второй популяции, а $j$это наблюдение из $i$население $X_{ij}$.

Многомерная задача Беренса – Фишера заключается в проверке нулевой гипотезы. $H_{0}$ что средства равны по сравнению с альтернативой $H_{1}$ неравенства:

$H_{0}:\mu _{1}=\mu _{2}\ \ {\text{vs}}\ \ H_{1}:\mu _{1}\neq \mu _{2}.$

Определим некоторые статистики, которые используются в различных попытках решить многомерную задачу Беренса-Фишера, по формуле

${\begin{aligned}{\bar {X_{i}}}&={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}X_{ij},\\A_{i}&=\sum _{j=1}^{n_{i}}(X_{ij}-{\bar {X_{i}}})(X_{ij}-{\bar {X_{i}}})',\\S_{i}&={\frac {1}{n_{i}-1}}A_{i},\\{\tilde {S_{i}}}&={\frac {1}{n_{i}}}S_{i},\\{\tilde {S}}&={\tilde {S_{1}}}+{\tilde {S_{2}}},\quad {\text{and}}\\T^{2}&=({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}})'{\tilde {S}}^{-1}({\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}).\end{aligned}}$

Образец означает ${\bar {X_{i}}}$ и матрицы суммы квадратов $A_{i}$ достаточны для многомерных нормальных параметров $\mu _{i},\Sigma _{i},\ (i=1,2)$, поэтому достаточно сделать вывод, основываясь только на этой статистике. Распределения ${\bar {X_{i}}}$ и $A_{i}$ независимы и являются соответственно многомерными нормальными и Уишартами :

${\begin{aligned}{\bar {X_{i}}}&\sim {\mathcal {N}}_{p}\left(\mu _{i},\Sigma _{i}/n_{i}\right),\\A_{i}&\sim W_{p}(\Sigma _{i},n_{i}-1).\end{aligned}}$

Фон

В случае равенства дисперсионных матриц распределение $T^{2}$ Статистика, как известно, представляет собой F-распределение при нулевом значении и нецентральное F-распределение при альтернативном варианте.

Основная проблема заключается в том, что когда истинные значения матрицы дисперсии неизвестны, то при нулевой гипотезе вероятность отклонения $H_{0}$ далеко в $T^{2}$ тест зависит от неизвестных матриц дисперсии. На практике эта зависимость вредит выводам, когда матрицы дисперсии находятся далеко друг от друга или когда размер выборки недостаточно велик для их точной оценки.

Теперь средние векторы независимы и нормально распределены:

${\bar {X_{i}}}\sim {\mathcal {N}}_{p}\left(\mu _{i},\Sigma _{i}/n_{i}\right),$

но сумма $A_{1}+A_{2}$ не соответствует распределению Уишарта, что усложняет вывод.

Предлагаемые решения

Предлагаемые решения основаны на нескольких основных стратегиях:

• Вычислить статистику, имитирующую $T^{2}$ статистические данные и которые имеют приблизительную $F$ распределение с оцененными степенями свободы (df).
• Используйте обобщенные значения p на основе обобщенных тестовых переменных .
• Используйте принцип объединения-пересечения Роя.

Подходы с использованием T ² с приблизительными степенями свободы

Ниже, $\mathrm {tr}$ указывает оператор трассировки .

Они (1965)

(как цитирует )

$T^{2}\sim {\frac {\nu p}{\nu -p+1}}F_{p,\nu -p+1},$

где

${\begin{aligned}\nu &=\left[{\frac {1}{n_{1}}}\left({\frac {{\bar {X}}_{d}'{\tilde {S}}^{-1}{\tilde {S}}_{1}{\tilde {S}}^{-1}{\bar {X_{d}}}}{{\bar {X}}_{d}'{\tilde {S}}^{-1}{\bar {X}}_{d}}}\right)^{2}+{\frac {1}{n_{2}}}\left({\frac {{\bar {X}}_{d}'{\tilde {S}}^{-1}{\tilde {S}}_{2}{\tilde {S}}^{-1}X_{d}^{-1}}{{\bar {X}}_{d}'{\tilde {S}}^{-1}{\bar {X}}_{d}}}\right)^{2}\right]^{-1},\\{\bar {X}}_{d}&={\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}.\end{aligned}}$

Йохансен (1980)

(как цитирует )

$T^{2}\sim qF_{p,\nu },$

где

${\begin{aligned}q&=p+2D-{\frac {6D}{p(p-1)+2}},\\\nu &={\frac {p(p+2)}{3D}},\\\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{n_{i}}}{\Bigg \{}\ &\mathrm {tr} \left[{\left(I-({\tilde {S}}_{1}^{-1}+{\tilde {S}}_{2}^{-1})^{-1}{\tilde {S}}_{i}^{-1}\right)}^{2}\right]\\&{}+{\left[\mathrm {tr} \left(I-({\tilde {S}}_{1}^{-1}+{\tilde {S}}_{2}^{-1})^{-1}{\tilde {S}}_{i}^{-1}\right)\right]}^{2}\ {\Bigg \}}.\\\end{aligned}}$

Нел и Ван дер Мерве (1986)

(как цитирует )

$T^{2}\sim {\frac {\nu p}{\nu -p+1}}F_{p,\nu -p+1},$

где

$\nu ={\frac {\mathrm {tr} ({\tilde {S}}^{2})+[\mathrm {tr} ({\tilde {S}})]^{2}}{{\frac {1}{n_{1}}}\left\{\mathrm {tr} ({\tilde {S_{1}}}^{2})+[\mathrm {tr} ({\tilde {S_{1}}})]^{2}\right\}+{\frac {1}{n_{2}}}\left\{\mathrm {tr} ({\tilde {S_{2}}}^{2})+[\mathrm {tr} ({\tilde {S_{2}}})]^{2}\right\}}}.$

Комментарии к производительности

Ким (1992) предложил решение, основанное на варианте $T^{2}$. Хотя его мощность высока, тот факт, что он не инвариантен, делает его менее привлекательным. Исследования с помощью моделирования, проведенные Субраманиамом и Субраманиамом (1973), показывают, что размер теста Яо ближе к номинальному уровню, чем размер теста Джеймса. Кристенсен и Ренчер (1997) провели численные исследования, сравнив несколько из этих процедур тестирования, и пришли к выводу, что тесты Кима, Нела и Ван дер Мерве имели наибольшую мощность. Однако эти две процедуры не инвариантны.

Кришнамурти и Ю (2004)

Кришнамурти и Ю (2004) предложили процедуру, которая корректирует приблизительную df Нела и Вар дер Мерве (1986) для знаменателя $T^{2}$ под нулевым распределением, чтобы сделать его инвариантным. Они показывают, что приблизительные степени свободы лежат в интервале $\left[\min\{n_{1}-1,n_{2}-1\},n_{1}+n_{2}-2\right]$ чтобы убедиться, что степени свободы не отрицательны. Они сообщают о численных исследованиях, которые показывают, что их процедура столь же эффективна, как тест Неля и Ван дер Мерве для меньшего измерения, и более эффективна для большего измерения. В целом они утверждают, что их процедура лучше, чем инвариантные процедуры Яо (1965) и Йохансена (1980). Таким образом, по состоянию на 2004 год процедура Кришнамурти и Ю (2004) имеет наиболее известный размер и эффективность.

Тестовая статистика $T^{2}$ в процедуре Кришнмурти и Ю следует распределению $T^{2}\sim \nu pF_{p,\nu -p+1}/(\nu -p+1),$ где

$\nu ={\frac {p+p^{2}}{{\frac {1}{n_{1}-1}}\{\mathrm {tr} [({\tilde {S}}_{1}{\tilde {S}}^{-1})^{2}]+[\mathrm {tr} ({\tilde {S}}_{1}{\tilde {S}}^{-1})]^{2}\}+{\frac {1}{n_{2}-1}}\{\mathrm {tr} [({\tilde {S}}_{2}{\tilde {S}}^{-1})^{2}]+[\mathrm {tr} ({\tilde {S}}_{2}{\tilde {S}}^{-1})]^{2}\}}}.$

Ссылки

• Родригес-Кортес, Ф.Дж. и Нагар, ДК (2007). Процентные точки для проверки равенства средних векторов. Журнал Нигерийского математического общества , 26:85–95.
• Гупта А.К., Нагар Д.К., Матеу Дж. и Родригес-Кортес Ф.Дж. (2013). Процентные точки тестовой статистики, полезные в манове со структурированными ковариационными матрицами. Журнал прикладной статистики , 20:29-41.