Полином перечислителя

В теории кодирования полином перечислителя веса двоичного линейного кода определяет количество слов каждого возможного веса Хэмминга .

Позволять $C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}$ быть длиной двоичного линейного кода $n$. Распределение веса представляет собой последовательность чисел

$A_{t}=\#\{c\in C\mid w(c)=t\}$

давая количество кодовых слов c в C, имеющих вес t, поскольку t варьируется от 0 до n . Перечислитель веса представляет собой двумерный полином

$W(C;x,y)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}x^{w}y^{n-w}.$

Основные свойства

1. $W(C;0,1)=A_{0}=1$
2. $W(C;1,1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}=|C|$
3. $W(C;1,0)=A_{n}=1{\mbox{ if }}(1,\ldots ,1)\in C\ {\mbox{ and }}0{\mbox{ otherwise}}$
4. $W(C;1,-1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}(-1)^{n-w}=A_{n}+(-1)^{1}A_{n-1}+\ldots +(-1)^{n-1}A_{1}+(-1)^{n}A_{0}$

Личность МакВильямса

Обозначим двойственный код $C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}$ к

$C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{2}^{n}\,\mid \,\langle x,c\rangle =0{\mbox{ }}\forall c\in C\}$

(где $\langle \ ,\ \rangle$ обозначает векторное скалярное произведение , которое принимается $\mathbb {F} _{2}$).

Тождество Мак-Вильямса утверждает, что

$W(C^{\perp };x,y)={\frac {1}{\mid C\mid }}W(C;y-x,y+x).$

Личность названа в честь Джесси МакВильямс .

Счетчик расстояний

Распределение по расстоянию или внутреннее распределение кода C размера M и длины n представляет собой последовательность чисел.

$A_{i}={\frac {1}{M}}\#\left\lbrace (c_{1},c_{2})\in C\times C\mid d(c_{1},c_{2})=i\right\rbrace$

где я варьируется от 0 до n . Полином перечислителя расстояния равен

$A(C;x,y)=\sum _{i=0}^{n}A_{i}x^{i}y^{n-i}$

и когда C линеен, это равно счетчику веса.

C Внешнее распределение — это 2 ^н -by- n +1 матрица B со строками, индексированными элементами GF(2) ^н и столбцы, индексированные целыми числами 0... n , и записи

$B_{x,i}=\#\left\lbrace c\in C\mid d(c,x)=i\right\rbrace .$

Сумма строк B равна M на внутренний вектор распределения ( A ₀ ,..., An _{умноженному} ).

Код C является регулярным , если все строки B, соответствующие кодовым словам C, равны.

Ссылки

• Хилл, Раймонд (1986). Первый курс теории кодирования . Оксфордская серия по прикладной математике и информатике. Издательство Оксфордского университета . стр. 165–173 . ISBN  0-19-853803-0 .
• Плесс, Вера (1982). Введение в теорию кодов, исправляющих ошибки . Серия Wiley-Interscience по дискретной математике. Джон Уайли и сыновья . стр. 103–119. ISBN  0-471-08684-3 .
• Дж. Х. ван Линт (1992). Введение в теорию кодирования . ГТМ . Том. 86 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-54894-7 . Главы 3.5 и 4.3.