Критерий Скарборо

Критерий Скарборо используется для обеспечения сходимости решения при решении линейных уравнений итерационным методом .

Введение

Аналитические решения для некоторых систем уравнений может быть трудно или невозможно получить. Хорошо известным примером являются уравнения Навье-Стокса, описывающие течение ньютоновских жидкостей. Решения таких уравнений могут быть получены численно в дискретных точках области решения (например, в дискретные моменты времени и точки пространства). Численные решения, основанные на интегрировании уравнений в дискретных контрольных объемах области решения (например, метод конечных объемов ), приводят к системе алгебраических уравнений, по одному для каждой узловой точки (соответствующей определенному контрольному объему). Эти алгебраические уравнения обычно называют дискретными уравнениями . Критерий Скарборо , сформулированный Скарборо (1958), можно выразить через значения коэффициентов дискретизированных уравнений: ^[1]^[2]

{\frac {\sum |a_{nb}|}{|a'_{p}|}}{\begin{cases}\leq 1,&{\text{at all nodes}}\\<1,&{\text{at one node at least}}\end{cases}}

Здесь $a' p$ — чистый коэффициент случайного центрального узла P , а суммирование в числителе ведется по всем соседним узлам. Для одно-, двух- и трехмерной задачи будет два (восток и запад), четыре (восток, запад, юг и север) и шесть (восток, запад, юг-север, верхний и нижний) соседей для каждого узла. соответственно.

Это достаточное условие, а не необходимое. Это означает, что мы можем добиться сходимости, даже если иногда нарушаем критерий. ^[3]
Удовлетворение этого критерия обеспечивает сходимость уравнений хотя бы одним итерационным методом. ^[3]

Метод Гаусса – Зейделя

Если критерий Скарборо не удовлетворяется, то итерационная процедура метода Гаусса – Зейделя не гарантирует сходимость решения. Этот критерий является достаточным условием, ^[3] не обязательный. Если этот критерий удовлетворяется, то это означает, что уравнение сходится хотя бы одним итерационным методом . Критерий Скарборо используется как достаточное условие сходимости итерационного метода. Метод конечных объемов использует этот критерий для получения сходящегося решения и реализации граничных условий .

Диагональное доминирование

Если разностная схема дает коэффициенты, удовлетворяющие вышеуказанному критерию, результирующая матрица коэффициентов является диагонально доминирующей . ^[4] Чтобы добиться диагонального доминирования, нам нужны большие значения чистого коэффициента, поэтому практика линеаризации исходных условий должна гарантировать, что всегда _SP будет отрицательным. положителен и _{В этом случае SP} добавляется P. _к всегда Диагональное доминирование является желательной особенностью для удовлетворения критерия ограниченности . Это гласит, что при отсутствии источников внутренние узловые значения свойства ф должны быть ограничены его граничными значениями. Следовательно, в установившейся задаче проводимости без источников и с граничными температурами 500 °C и 200 °C все внутренние значения T должны быть меньше 500 °C и больше 200 °C. ^[2]

См. также

Ссылки

^ Джеймс Блейн Скарборо (1955). Численный математический анализ . Джонс Хопкинс Пресс.
^ Jump up to: ^а ^б Хенк Каарле Верстег; Weeratunge Malalasekera (1 января 2007 г.). Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечного объема . Пирсон Образования Лимитед. ISBN 978-0-13-127498-3 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Сухас Патанкар (1 января 1980 г.). Численная теплопередача и поток жидкости . ЦРК Пресс. стр. 64–. ISBN 978-0-89116-522-4 .
^ В. Дж. Минкович (28 марта 1988 г.). Справочник по численному теплообмену . Уайли. ISBN 978-0-471-83093-1 .

Внешние ссылки

[Scarborough1955-1] Джеймс Блейн Скарборо (1955). Численный математический анализ . Джонс Хопкинс Пресс.

[Pearson_Education_Limited-2] Jump up to: ^а ^б Хенк Каарле Верстег; Weeratunge Malalasekera (1 января 2007 г.). Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечного объема . Пирсон Образования Лимитед. ISBN 978-0-13-127498-3 .

[Patankar1980-3] Jump up to: ^а ^б ^с Сухас Патанкар (1 января 1980 г.). Численная теплопередача и поток жидкости . ЦРК Пресс. стр. 64–. ISBN 978-0-89116-522-4 .

[Minkowycz1988-4] В. Дж. Минкович (28 марта 1988 г.). Справочник по численному теплообмену . Уайли. ISBN 978-0-471-83093-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]