Гипотеза Конли

Гипотеза Конли , названная в честь математика Чарльза Конли , — математическая гипотеза в области симплектической геометрии , раздела дифференциальной геометрии .

Фон

Позволять $(M,\omega )$ — компактное симплектическое многообразие . Векторное поле $V$ на $M$ называется гамильтоновым векторным полем, если 1-форма $\omega (V,\cdot )$ является точным (т. е. равен дифференциалу функции $H$. Гамильтонов диффеоморфизм $\phi :M\to M$ представляет собой интегрирование однопараметрического семейства гамильтоновых векторных полей $V_{t},t\in [0,1]$.

В динамических системах хотелось бы понять распределение фиксированных точек или периодических точек. Периодическая точка гамильтонова диффеоморфизма $\phi$ (периодических $k$) — это точка $x\in M$ такой, что $\phi ^{k}(x)=x$. Особенностью гамильтоновой динамики является то, что гамильтоновы диффеоморфизмы имеют тенденцию иметь бесконечное количество периодических точек. Конли впервые высказал такую ​​гипотезу в случае, что $M$ является тором.

Гипотеза Конли неверна во многих простых случаях. Например, вращение круглой сферы $S^{2}$ на угол, равный иррациональному кратному $\pi$, который является гамильтоновым диффеоморфизмом, имеет только две геометрически различные периодические точки. С другой стороны, оно доказано для различных типов симплектических многообразий.

История учебы

Гипотеза Конли была доказана Франксом и Генделем для поверхностей положительного рода. Случай тора более высокой размерности был доказан Хингстоном. Доказательство Хингстона вдохновило Гинзбурга на доказательство гипотезы Конли для симплектически асферических многообразий. Позднее Гинзбург-Гурель и Хейн доказали гипотезу Конли для многообразий, у которых первый класс Чженя равен нулю на сферических классах. Наконец, Гинзбург--Гурель доказал гипотезу Конли для отрицательно монотонных симплектических многообразий.