Неполная информационная сетевая игра

Сетевые игры с неполной информацией представляют собой стратегическое формирование сети , когда агенты заранее не знают своих соседей, т.е. структуру сети и ценность, вытекающую из формирования связей с соседними агентами. В такой ситуации у агентов есть предварительные убеждения о ценности привязанности к своим соседям; предпринимать действия на основе своих предыдущих убеждений и обновлять свои убеждения на основе истории игры. Хотя игры с полностью известной сетевой структурой широко применимы, существует множество приложений, в которых игроки действуют, не зная полностью, с кем они взаимодействуют или каковы будут действия их соседей.

Например, люди, выбирающие специальность в колледже, могут быть формализованы как сетевая игра с неполной информацией: они могут что-то знать о количестве людей, изучающих эту специальность, и могут сделать какие-то выводы о рынке труда для разных специальностей, но они не знают, с которыми им придется взаимодействовать, поэтому они не знают структуру сети.

Теоретико-игровая формулировка

В этой обстановке игроки имеют личную и неполную информацию о сети, и эта личная информация интерпретируется как собственный тип игрока (здесь частные знания собственной степени ). В зависимости от своего уровня игроки формируют убеждения о степенях своих соседей. Концепция равновесия в этой игре — байесовское равновесие Нэша . Стратегия игрока — это отображение степени игрока на действия игрока.

Позволять $\textstyle \sigma _{(d)}\in [0,1]$ — вероятность того, что игрок степени d выберет действие 1. Для большинства степеней (d) действие будет либо 0, либо 1, но в некоторых случаях может возникнуть смешанная стратегия .

Степени соседа i взяты из распределения степеней $\textstyle {\tilde {P}}$, где $\textstyle {\tilde {P}}(d)={\frac {P(d)d}{\langle d\rangle }}$ аппроксимирует распределение по степени соседей из модели конфигурации относительно последовательности степеней, представленной P.

Данный $\textstyle {\tilde {P}}$, вероятность того, что сосед выполнит действие 1, равна: $\textstyle p_{\sigma }=\sum _{d}\sigma (d){\tilde {P}}(d)$.

Асимптотически вера в то, что ровно m из d соседей игрока i выбирает действие 1, следует биномиальному распределению. $\textstyle \ {d_{i} \choose m}p_{\sigma }^{m}(1-p_{\sigma })^{(d_{i}-m)}$.

Таким образом, ожидаемая полезность игрока i степени $\textstyle \ d_{i}$ кто принимает меры $\textstyle \ x_{i}$ дается: $\textstyle \ U_{d_{i}}(x_{i},p_{\sigma })=\sum _{m=0}^{d_{i}}u_{d_{i}}(x_{i},m){d_{i} \choose m}p_{\sigma }^{m}(1-p_{\sigma })^{(d_{i}-m)}$, где $\textstyle \ u_{d_{i}}$ — выигрыш, соответствующий игре на определенной сетевой структуре, в которой игроки выбирают свои стратегии, зная, сколько связей у них будет, но не зная, какая сеть будет реализована, учитывая неполную информацию о формировании связей соседей.

Предполагая независимость степеней соседей, приведенная выше формулировка игры не требует знания точного набора игроков. Сетевая игра определяется определением утилиты $\textstyle \ u_{d}$ для каждого d и распределения степеней соседей $\textstyle {\tilde {P}}$.

Байесовское равновесие этой сетевой игры — это стратегия $\textstyle \sigma (d)$ такая, что для каждого d, если $\textstyle \sigma (d)>0$, затем $\textstyle \ U_{d}(1,p_{\sigma })\geq U_{d}(0,p_{\sigma })$, и если $\textstyle \sigma (d)<1$, затем $\textstyle \ U_{d}(1,p_{\sigma })\leq U_{d}(0,p_{\sigma })$.

Пример несовершенной информационной игры, разыгрываемой в сетях

Рассмотрим сетевую игру по обеспечению общественного блага на местном уровне. когда действия агента являются стратегическими заменителями (т. е. выгода индивидуума от совершения определенного действия не увеличивается, если его партнеры предпринимают то же действие), таким образом, в случае стратегических заменителей равновесные действия не возрастают по степени игрока.

Определите конечный набор игроков или отдельных лиц, $\textstyle N=\left\{1,...,n\right\}$, связанные в некотором сетевом отношении.

Простейшая схема — это представить себе ненаправленную сеть, в которой два агента либо соединены, либо нет.

Связи представлены матрицей смежности $\textstyle \ g\in \left\{0,1\right\}^{n\times n}$, с $\textstyle \ g_{ij}=1$, подразумевая, что на выигрыш i влияет поведение j.

Обычно, $\textstyle \ g_{ii}=0$ для всех $\textstyle \ i\in N$.

Определить набор соседей игрока $\textstyle \ i$ как $\textstyle \ N_{i}(g)=\left\{j|g_{ij}=1\right\}$.

Количество подключений игрока $\textstyle \ i$, т.е. его степень определяется выражением $\textstyle \ k_{i}(g)=|N_{i}(g)|$.

Каждый человек должен самостоятельно выбирать действие в $\textstyle \ X=\left\{0,1\right\}$, где 1 указывает на выполнение этого действия, а 0 указывает на невыполнение этого действия.

Выплата определяется как $\textstyle \ y_{i}\equiv x_{i}+{\overline {x}}_{Ni}$, что представляет собой сумму $\textstyle \ x_{i}$, действие, выбранное агентом i, и совокупное действие в окрестности, определяемое как $\textstyle {\overline {x}}_{Ni}\equiv \sum _{j\in N_{i}}x_{j}$.

Предполагается, что валовой выигрыш агента i равен 1, если $\textstyle \ y_{i}\geq 1$, и 0 в противном случае. Обеспечение общественного блага, т.е. выбор действия 1, несет затраты c, где $\textstyle \ 0<c<1$, а действие 0 не требует затрат. Чистый выигрыш в игре определяется как валовой выигрыш минус стоимость c. Учитывая стоимость, агент предпочел бы, чтобы кто-то из его или ее района выполнил действие 1, и предпочел бы не предпринимать это действие самостоятельно. Если кто-то из соседей i внесет свой вклад, общественное благо будет обеспечено, а агент i окажется на свободе . Однако, если никто из соседей i не внесет свой вклад, агент i будет готов внести свой вклад и предпринять действие 1.

При несовершенной информации (игроки формируют убеждения о степенях соседей, суммированных распределением вероятностей ), чистую стратегию игрока можно определить как отображение $\textstyle \sigma$ от степени k к действию $\textstyle \ X=\left\{0,1\right\}$. Предположим, что между любыми двумя агентами из N связь образуется независимо с вероятностью $\textstyle \ p\in (0,1)$. Вероятность того, что любой случайно выбранный сосед имеет степень k, представляет собой вероятность того, что сосед подключен к k-1 дополнительным агентам из оставшихся N-2 агентов, и определяется выражением:

$\textstyle \mathbb {Q} (k;p)={N-2 \choose k-1}p^{(k-1)}(1-p)^{(N-k-1)}$.

Если агент степени k выбирает действие 1 в равновесии, из независимости степени (при условии, что n бесконечно велико) следует, что агент степени k-1 сталкивается с меньшей вероятностью того, что произвольный сосед выберет действие 1, и будет лучше всего реагировать, также выбрав действие 1. Можно показать, что любое равновесие характеризуется порогом. Обозначим через t наименьшее целое число, за которое будет предоставлено общественное благо: $\textstyle \ 1-{[1-\sum _{k=1}^{t}Q(k;p)]}^{t}\geq 1-c$.

Равновесие $\textstyle \sigma$ должен удовлетворить $\textstyle \sigma (k)=1$ для всех $\textstyle k<t$, $\textstyle \sigma (k)=0$ для всех $\textstyle k>t$ и $\textstyle \ \sigma (t)\in [0,1]$. В частности, $\textstyle \sigma (k)$ является невозрастающим.

Видно, что основная сетевая структура и отношения между сетевыми связями и действиями влияют на результат игры. Социальные связи создают личные преимущества: игроки со степенью выше t получают более высокий ожидаемый выигрыш по сравнению с менее связанными игроками со степенью меньше t .

Дальнейшее чтение

• Джексон, Миссури, и Л. Ярив (2005) «Распространение в социальных сетях », Economie Publique 16(1): 3-16.
• Джексон, М.О. и Л. Ярив (2007) «Распространение поведения и равновесной структуры в социальных сетях», American Economic Review (статьи и материалы) 97(2):92-98.
• Сундарараджан, А. (2007) «Эффекты локальной сети и сетевая структура», BE Journal of Theoretical Economics 71 (1): статья 46.