Многомерное неравенство Чебышева

В теории вероятностей многомерное неравенство Чебышева является обобщением неравенства Чебышева , которое ограничивает вероятность того, что случайная величина отличается от своего ожидаемого значения более чем на заданную величину.

Позволять $X$ быть $N$-мерный случайный вектор с ожидаемым значением $\mu =\operatorname {E} [X]$ и ковариационная матрица

$V=\operatorname {E} [(X-\mu )(X-\mu )^{T}].\,$

Если $V$ — положительно определенная матрица для любого действительного числа $t>0$:

$\Pr \left({\sqrt {(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )}}>t\right)\leq {\frac {N}{t^{2}}}$

Доказательство

С $V$ положительно определен, поэтому $V^{-1}$. Определите случайную величину

$y=(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu ).$

С $y$ положительно, то неравенство Маркова имеет место:

$\Pr \left({\sqrt {(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )}}>t\right)=\Pr({\sqrt {y}}>t)=\Pr(y>t^{2})\leq {\frac {\operatorname {E} [y]}{t^{2}}}.$

Окончательно,

${\begin{aligned}\operatorname {E} [y]&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{T}V^{-1}(X-\mu )]\\[6pt]&=\operatorname {E} [\operatorname {trace} (V^{-1}(X-\mu )(X-\mu )^{T})]\\[6pt]&=\operatorname {trace} (V^{-1}V)=N\end{aligned}}.$

Бесконечные размеры

Существует прямое расширение векторной версии неравенства Чебышева на бесконечномерные условия. Пусть X — случайная величина, принимающая значения в пространстве Фреше. ${\mathcal {X}}$ (оснащено полунормами || ⋅ || _α ). Сюда входят наиболее распространенные настройки векторных случайных величин, например, когда ${\mathcal {X}}$ является банаховым пространством (с единственной нормой), гильбертовым пространством или конечномерной установкой, как описано выше.

Предположим, что X имеет « сильный второй порядок », а это означает, что

$\operatorname {E} \left(\|X\|_{\alpha }^{2}\right)<\infty$

для каждой полунормы || ⋅ || _альфа . Это обобщение требования, чтобы X имело конечную дисперсию, и оно необходимо для этой сильной формы неравенства Чебышева в бесконечных измерениях. Терминология «сильный второй порядок» принадлежит Вахании .

Позволять $\mu \in {\mathcal {X}}$ — интеграл Петтиса от X (т. е. векторное обобщение среднего значения), и пусть

$\sigma _{a}:={\sqrt {\operatorname {E} \|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}}$

— стандартное отклонение относительно полунормы || ⋅ || _альфа . В этой ситуации мы можем сказать следующее:

Общая версия неравенства Чебышева. $\forall k>0:\quad \Pr \left(\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }\right)\leq {\frac {1}{k^{2}}}.$

Доказательство. Доказательство простое и по существу такое же, как и финитная версия. Если σα _{) ,} = 0 , то X почти наверняка постоянно (и равно µ поэтому неравенство тривиально.

Если

$\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }^{2}$

тогда || Икс - мкм || _α > 0 , поэтому мы можем смело делить на || Икс - мкм || _альфа . Решающий трюк в неравенстве Чебышева состоит в том, чтобы признать, что $1={\tfrac {\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}{\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}}$.

Следующие вычисления завершают доказательство:

${\begin{aligned}\Pr \left(\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }\right)&=\int _{\Omega }\mathbf {1} _{\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }}\,\mathrm {d} \Pr \\&=\int _{\Omega }\left({\frac {\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}{\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}}\right)\cdot \mathbf {1} _{\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }}\,\mathrm {d} \Pr \\[6pt]&\leq \int _{\Omega }\left({\frac {\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}}{(k\sigma _{\alpha })^{2}}}\right)\cdot \mathbf {1} _{\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }}\,\mathrm {d} \Pr \\[6pt]&\leq {\frac {1}{k^{2}\sigma _{\alpha }^{2}}}\int _{\Omega }\|X-\mu \|_{\alpha }^{2}\,\mathrm {d} \Pr &&\mathbf {1} _{\|X-\mu \|_{\alpha }\geq k\sigma _{\alpha }}\leq 1\\[6pt]&={\frac {1}{k^{2}\sigma _{\alpha }^{2}}}\left(\operatorname {E} \|X-\mu \|_{\alpha }^{2}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{k^{2}\sigma _{\alpha }^{2}}}\left(\sigma _{\alpha }^{2}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}$