Регулярная матрица Адамара

В математике регулярная матрица Адамара — это матрица Адамара, суммы строк и столбцов которой равны. Хотя порядок матрицы Адамара должен быть 1, 2 или кратен 4, обычные матрицы Адамара имеют дополнительное ограничение: порядок должен быть квадратным числом . Избыток ) , обозначаемый E ( H , матрицы Адамара H порядка n определяется как сумма H. элементов Избыток удовлетворяет границе| Е ( Ч ) | ≤ n ^3/2 . Матрица Адамара достигает этой границы тогда и только тогда, когда она регулярна.

Параметры

Если n = 4, то ² — порядок регулярной матрицы Адамара, то превышение составляет ±8 u ³ а суммы строк и столбцов равны ±2 u . Отсюда следует, что в каждой строке имеется 2 u ² ± u положительных записей и 2 u ² ∓ u отрицательные записи. Ортогональность ровно строк подразумевает, что любые две различные строки имеют u ² ± u общих положительных записей. Если H интерпретируется как матрица инцидентности блочной конструкции , где 1 представляет инцидентность, а −1 представляет неинцидентность, то H соответствует симметричной 2-( v , k , λ ) схеме с параметрами (4 u ² , 2 часа ² ± ты , ты ² ± ты ). Дизайн с такими параметрами называется дизайном Менона .

Строительство

Нерешенная задача по математике :

Какие квадратные числа могут быть порядка правильной матрицы Адамара?

(еще нерешенные задачи по математике)

Известен ряд методов построения регулярных матриц Адамара, и были проведены некоторые исчерпывающие компьютерные поиски регулярных матриц Адамара с заданными группами симметрии , но неизвестно, является ли каждый четный совершенный квадрат порядком регулярной матрицы Адамара. Матрицы Адамара Буша-типа представляют собой регулярные матрицы Адамара специального вида и связаны с конечными проективными плоскостями .

История и именование

Как и матрицы Адамара в целом, обычные матрицы Адамара названы в честь Жака Адамара . Конструкции Менона названы в честь П. Кесавы Менона , а матрицы Адамара типа Буша названы в честь Кеннета А. Буша.

Ссылки

• К. Дж. Колборн и Дж. Х. Диниц (ред.), Справочник по комбинаторным расчетам CRC, 2-е изд., CRC Press, Бока-Ратон, Флорида, 2006.
• У. Д. Уоллис, Энн Пенфолд Стрит и Дженнифер Себерри Уоллис , Комбинаторика: комнатные квадраты, множества без сумм, матрицы Адамара, Springer-Verlag, Берлин, 1972.