Изоэластичная функция

В математической экономике изоэластичная функция , иногда функция постоянной эластичности , представляет собой функцию, которая проявляет постоянную эластичность , т.е. имеет постоянный коэффициент эластичности . Эластичность — это отношение процентного изменения зависимой переменной к процентному причинному изменению независимой переменной в пределе, когда изменения приближаются к нулю по величине.

Для коэффициента эластичности $r$ (которое может принимать любое действительное значение), общий вид функции имеет вид

f(x)={kx^{r}},

где $k$ и $r$ являются константами. Эластичность по определению

{\text{elasticity}}={\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}={\frac {d{\text{ln}}f(x)}{d{\text{ln}}x}},

что для этой функции просто равно r .

Вывод

Эластичность спроса характеризуется

${r}={\frac {dQ}{dP}}{\frac {P}{Q}}$ ,

где r — эластичность, Q — количество, а P — цена.

Перестановка дает нам:

${\frac {r}{P}}{dP}={\frac {1}{Q}}{dQ}$

Затем интегрируя

$\int {\frac {r}{P}}{dP}=\int {\frac {1}{Q}}{dQ}$

$r\ln(P)+C=\ln(Q)$

Упрощать

$e^{\ln(P)r+C}=e^{ln(Q)}$

$(e^{\ln(P)})^{r}e^{C}=Q$

$kP^{r}=Q$

$Q(P)=kP^{r}$

Примеры

Функции спроса

Примером в микроэкономике является функция спроса с постоянной эластичностью , в которой p — цена продукта, а D ( p ) — результирующее количество, требуемое потребителями. Для большинства товаров эластичность r (зависимость количества спроса от цены) отрицательна, поэтому может быть удобно записать функцию спроса с постоянной эластичностью с отрицательным знаком в показателе степени, чтобы коэффициент $r$ принять положительное значение:

D(p)={kp^{-r}},

где $r>0$ теперь интерпретируется как беззнаковая величина реакции. ^[1]Аналогичная функция существует для кривой предложения .

Функции полезности при наличии риска

Функция постоянной эластичности также используется в теории выбора при неприятии риска , которая обычно предполагает, что лица, не склонные к риску, максимизируют ожидаемое значение вогнутой функции полезности фон Неймана-Моргенштерна . В этом контексте, при постоянной эластичности полезности по отношению, скажем, к богатству, оптимальные решения по таким вещам, как доли акций в портфеле, не зависят от масштаба богатства лица, принимающего решения. Функция полезности постоянной эластичности в этом контексте обычно записывается как

U(x)={\frac {1}{1-\gamma }}x^{1-\gamma }

где х — богатство и $1-\gamma$ это эластичность, при этом $\gamma >0$ , $\gamma$ ≠ 1, называемый постоянным коэффициентом относительного неприятия риска (при этом неприятие риска приближается к бесконечности как $\gamma$ → ∞).