Коэффициент эластичности

Чтобы узнать о соотношении начальной и конечной скоростей при столкновении, см. Коэффициент восстановления . Для других см. Эластичность .

На скорость химической реакции влияет множество различных факторов, таких как температура, pH , концентрации реагентов и продуктов и другие эффекторы. Степень, в которой эти факторы изменяют скорость реакции, описывается коэффициентом эластичности . Этот коэффициент определяется следующим образом:

$\varepsilon _{s_{i}}^{v}=\left({\frac {\partial v}{\partial s_{i}}}{\frac {s_{i}}{v}}\right)_{s_{j},s_{k},\ldots }={\frac {\partial \ln v}{\partial \ln s_{i}}}\approx {\frac {v\%}{s_{i}\%}}$

где $v$ обозначает скорость реакции и $s$ обозначает концентрацию субстрата . Имейте в виду, что в обозначениях будут использоваться строчные латинские буквы, например: $s,$ для указания концентрации.

Частная производная в определении указывает на то, что эластичность измеряется по отношению к изменениям фактора S при сохранении всех остальных факторов постоянными. Наиболее распространенные факторы включают субстраты, продукты, ферменты и эффекторы. Масштабирование коэффициента обеспечивает его безразмерность и независимость от единиц измерения скорости реакции и величины фактора. Коэффициент эластичности является неотъемлемой частью анализа метаболического контроля и был введен в начале 1970-х годов, а возможно и раньше, Хенриком Качером и Бернсом. в Эдинбурге и Генрих и Рапопорт в Берлине.

Концепция эластичности также была описана другими авторами, в первую очередь Саважо. в Мичигане и Кларке в Эдмонтоне. В конце 1960-х годов Майкл Саважо разработал инновационный подход, называемый теорией биохимических систем , который использует степенные разложения для аппроксимации нелинейностей в биохимической кинетике. Эта теория очень похожа на анализ метаболического контроля и очень успешно и широко используется для изучения свойств различных обратных связей и других регуляторных структур в клеточных сетях. Степенные разложения, используемые в анализе, используют коэффициенты, называемые кинетическими порядками, которые эквивалентны коэффициентам эластичности.

Брюс Кларк в начале 1970-х годов разработал сложную теорию анализа динамической устойчивости химических сетей. В рамках своего анализа Кларк также ввел понятие кинетических порядков и степенное приближение, которое было чем-то похоже на степенные разложения Саважо. Подход Кларка в значительной степени опирался на определенные структурные характеристики сетей, называемые экстремальными токами (также называемыми элементарными режимами в биохимических системах). Кинетические порядки Кларка также эквивалентны эластичностям.

Эластичность также можно с пользой интерпретировать как средство распространения сигналов вверх или вниз по заданному пути.

Тот факт, что разные группы независимо друг от друга ввели одну и ту же концепцию, означает, что упругость или ее эквивалент, кинетический порядок, скорее всего, является фундаментальной концепцией при анализе сложных биохимических или химических систем.

Расчет коэффициентов эластичности

Коэффициенты эластичности можно рассчитать либо алгебраически, либо численно.

Алгебраический расчет коэффициентов эластичности

Учитывая определение коэффициента эластичности через частную производную , можно, например, определить эластичность произвольного закона ставки путем дифференцирования закона ставки по независимой переменной и масштабирования. Например, коэффициент эластичности для закона скорости действия масс, такой как:

$v=k\ s_{1}^{n_{1}}s_{2}^{n_{2}}$

где $v$ это скорость реакции , $k$ реакции константа скорости , $s_{i}$ i-й химический вид, участвующий в реакции, и $n_{i}$ i-й порядок реакции, то эластичность, $\varepsilon _{s_{1}}^{v}$ можно получить, дифференцируя закон скорости по $s_{1}$ и масштабирование:

$\varepsilon _{s_{1}}^{v}={\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}{\frac {s_{1}}{v}}=n_{1}\ k\ s_{1}^{n_{1}-1}s_{2}^{n_{2}}{\frac {s_{1}}{k\ s_{1}^{n_{1}}s_{2}^{n_{2}}}}=n_{1}$

То есть эластичность для закона скорости действия масс равна порядку реакции вида.

Например, эластичность A в реакции $2A\rightleftharpoons C$ где скорость реакции определяется выражением: $v=kA^{2}$, эластичность можно оценить с помощью:

$\varepsilon _{a}^{v}={\frac {\partial v}{\partial a}}{\frac {a}{v}}={\frac {2kaa}{ka^{2}}}=2$

Эластичность также может быть получена для более сложных законов ставок, таких как закон ставок Михаэлиса-Ментен . Если

$v={\frac {V_{\max }s}{K_{m}+s}}$

то это можно легко показать, чем

$\varepsilon _{s}^{v}={\frac {K_{m}}{K_{m}+s}}$

Это уравнение иллюстрирует идею о том, что упругость не обязательно должна быть постоянной (как в случае с законами действия масс), а может быть функцией концентрации реагента. В этом случае эластичность приближается к единице при низкой концентрации реагента (ов) и нулю при высокой концентрации реагента.

А. Наклон скорости реакции в зависимости от концентрации реагента, масштабированный как по концентрации реагента, так и по скорости реакции, определяет эластичность. Если построить логарифм скорости реакции и логарифм концентрации реагента, эластичность можно определить непосредственно по наклону кривой. Кривые были построены в предположении v = s/(2 + s)

Для обратимого закона скорости Михаэлиса-Ментен :

$v={\frac {V_{\max }/K_{m_{1}}(s-p/K_{\text{eq}})}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}$

где $V_{\max }$ нападающий $V_{max}$, $K_{m_{1}}$ нападающий $K_{m}$, $K_{eq}$ константа равновесия и $K_{m_{2}}$ наоборот $K_{m}$, можно рассчитать два коэффициента эластичности: один по отношению к подложке S, а другой по отношению к продукту P. Таким образом:

$\varepsilon _{s}^{v}={\frac {1}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {s/K_{m_{1}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}$

$\varepsilon _{p}^{v}={\frac {-\Gamma /K_{\text{eq}}}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {p/K_{m_{2}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}$

где $\Gamma$ - это отношение действующих масс , то есть $\Gamma =p/s$. Заметим, что при p = 0 уравнения сводятся к случаю необратимого закона Михаэлиса–Ментен.

В качестве последнего примера рассмотрим уравнение Хилла :

$v={\frac {V_{\max }(s/K_{s})^{n}}{1+(s/K_{s})^{n}}}$

где n - коэффициент Хилла и $K_{s}$ - коэффициент полунасыщения (см. Закон скорости Михаэлиса – Ментен ), тогда коэффициент эластичности определяется выражением:

$\varepsilon _{s}^{v}={\frac {n}{1+(s/K_{s})^{n}}}$

Обратите внимание, что при низких концентрациях S эластичность приближается к n . При высоких концентрациях S эластичность приближается к нулю. Это означает, что эластичность ограничена между нулем и коэффициентом Хилла.

Суммирование коэффициентов эластичности

Эластичность обратимой реакции, катализируемой уни-униферментом, ранее определялась по формуле:

$\varepsilon _{s}^{v}={\frac {1}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {s/K_{m_{1}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}$

$\varepsilon _{p}^{v}={\frac {-\Gamma /K_{\text{eq}}}{1-\Gamma /K_{\text{eq}}}}-{\frac {p/K_{m_{2}}}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}$

Интересный результат можно получить, вычислив сумму $\varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}$. Это можно показать равным:

$\varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}={\frac {1}{1+s/K_{m_{1}}+p/K_{m_{2}}}}$

Можно рассмотреть две крайности. При высокой насыщенности ( $s>K_{m_{1}},p>K_{m_{2}}$), правый член стремится к нулю, так что:

$\varepsilon _{s}^{v}\approx -\varepsilon _{p}^{v}$

То есть абсолютные величины эластичностей подложки и продукта имеют тенденцию уравниваться. Однако маловероятно, что у данного фермента концентрации субстрата и продукта будут намного превышать соответствующие Kms. Более правдоподобный сценарий – когда фермент работает в условиях недостаточного насыщения ( $s<K_{m_{1}},p<K_{m_{2}}$). В этих условиях мы получаем более простой результат:

$\varepsilon _{s}^{v}+\varepsilon _{p}^{v}\approx 1$

Выражаясь по-другому, мы можем сказать:

$||\varepsilon _{s}^{v}||>||\varepsilon _{p}^{v}||$

То есть абсолютное значение эластичности основы будет больше абсолютного значения эластичности продукта. Это означает, что субстрат будет иметь большее влияние на скорость прямой реакции, чем соответствующий продукт.

Этот результат имеет важные последствия для распределения контроля потока на пути с субнасыщенными стадиями реакции. В общем, возмущение в начале пути будет иметь большее влияние на поток в установившемся состоянии, чем шаги вниз по течению. Это связано с тем, что возмущение, которое распространяется вниз по течению, определяется всеми упругостями подложки, тогда как возмущение ниже по течению, которое должно перемещаться вверх по течению, если оно определяется упругостями продукта. Поскольку мы видели, что эластичность подложки имеет тенденцию превышать эластичность продукта, это означает, что возмущения, распространяющиеся вниз по потоку, будут меньше ослабляться, чем возмущения, распространяющиеся вверх по потоку. Конечным результатом является то, что управление потоком имеет тенденцию быть более сконцентрированным на начальных этапах, чем на последующих этапах.

В таблице ниже приведены экстремальные значения эластичности с учетом обратимого закона скорости Михаэлиса-Ментен. Следуя Вестерхоффу и др. таблица разделена на четыре случая, которые включают один «обратимый» тип и три «необратимых» типа.

Приблизительные значения эластичностей при различных условиях

Равновесное состояние	Уровни насыщения	Эластичность
Рядом с равновесием	Все степени насыщенности	$\varepsilon _{s}^{v}\gg 1,\varepsilon _{p}^{v}\ll -1$
Выход из равновесия	Высокий субстрат, высокий продукт	$\varepsilon _{s}^{v}\approx -\varepsilon _{p}^{v}$
Выход из равновесия	Высокий субстрат, низкий продукт	$\varepsilon _{s}^{v}\approx 0,\varepsilon _{p}^{v}\approx 0$
Выход из равновесия	Низкое содержание субстрата, высокий продукт	$\varepsilon _{s}^{v}\approx 1,\varepsilon _{p}^{v}\approx -1$
Выход из равновесия	Низкий уровень субстрата, низкий уровень продукта	$\varepsilon _{s}^{v}\approx 1,\varepsilon _{p}^{v}\approx 0$

Эластичность по концентрации фермента

Особое значение имеет эластичность ферментативно-катализируемой реакции по концентрации фермента. Модель действия ферментов Михаэлиса означает, что скорость реакции, катализируемой ферментом, является линейной функцией концентрации фермента. Например, необратимый закон скорости Михаэлиса приведен ниже максимальной скорости: $V_{m}$ явно задается произведением $k_{cat}$ и общая концентрация фермента, $E_{t}$:

$v={\frac {k_{cat}E_{t}s}{K_{m}+s}}$

В общем, мы можем выразить это соотношение как произведение концентрации фермента и функции насыщения: $f(s)$:

$v=E_{t}f(s)$

Эта форма применима ко многим ферментным механизмам. Коэффициент эластичности можно определить следующим образом:

$\varepsilon _{E_{t}}^{v}={\frac {\partial v}{\partial E_{t}}}{\frac {E_{t}}{v}}=f(s){\frac {E_{t}}{E_{t}f(s)}}=1$

Именно этот результат порождает теоремы о суммировании коэффициентов управления .

Численный расчет коэффициентов эластичности

Коэффициент эластичности также можно рассчитать численно, что часто делается в программном обеспечении для моделирования.

Например, можно внести небольшое изменение (скажем, 5%) в выбранную концентрацию реагента и записать изменение скорости реакции. Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что эталонная скорость реакции равна $v_{o}$, и эталонная концентрация реагента, $s_{o}$. Если увеличить концентрацию реагента на $\Delta s_{o}$ и запишите новую скорость реакции как $v_{1}$, то эластичность можно оценить, используя разностный коэффициент Ньютона :

$\varepsilon _{s}^{v}\simeq {\frac {v_{1}-v_{o}}{\Delta s_{o}}}{\frac {s_{o}}{v_{o}}}={\frac {v_{1}-v_{o}}{v_{o}}}/{\frac {s_{1}-s_{o}}{s_{o}}}$

Гораздо лучшую оценку эластичности можно получить, выполнив два отдельных возмущения в $s_{o}$. Одно возмущение для увеличения $s_{o}$ и еще один, чтобы уменьшить $s_{o}$. В каждом случае регистрируют новую скорость реакции; это называется методом двухточечной оценки . Например, если $v_{1}$ это скорость реакции когда мы увеличим $s_{o}$, и $v_{2}$ это скорость реакции, когда мы уменьшаем $s_{o}$, затем мы можем использовать следующую двухточечную формулу для оценки эластичности:

$\varepsilon _{s}^{v}\simeq {\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}-v_{2}}{s_{1}-s_{o}}}\left({\frac {s_{o}}{v_{o}}}\right)$

Интерпретация формы журнала

Рассмотрим переменную $y$ быть какой-то функцией $f(x)$, то есть $y=f(x)$. Если $x$ увеличивается с $x$ к $(x+h)$ тогда изменение стоимости $y$ будет предоставлен $f(x+h)-f(x)$. Однако пропорциональное изменение определяется следующим образом:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{f(x)}}$

Скорость пропорционального изменения в точке $x$ определяется приведенным выше выражением, разделенным на ступенчатое изменение $x$ ценность, а именно $h$:

Скорость пропорционального изменения $=$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{hf(x)}}={\frac {1}{f(x)}}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}$

Используя исчисление, мы знаем, что

${\frac {d\ln y}{dx}}={\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}$,

следовательно, скорость пропорционального изменения равна:

${\frac {d\ln y}{dx}}$

Эта величина служит мерой скорости пропорционального изменения функции $y$. Так же, как $dy/dx$ измеряет градиент кривой $y=f(x)$ построенный в линейном масштабе, $d\ln y/dx$ измеряет наклон кривой при построении в полулогарифмическом масштабе, то есть скорость пропорционального изменения. Например, значение $0.05$ означает, что кривая увеличивается при $5\%$ за единицу $x$.

Тот же аргумент можно применить к случаю, когда мы строим функцию на обоих $x$ и $y$ логарифмические масштабы. В таком случае справедлив следующий результат:

${\frac {d\ln y}{d\ln x}}={\frac {x}{y}}{\frac {dy}{dx}}$

Дифференциация в пространстве журнала

Подход, который поддается алгебраическим вычислениям методами компьютерной алгебры, заключается в дифференцировании в логарифмическом пространстве. Поскольку эластичность можно определить логарифмически, то есть:

$\varepsilon _{s}^{v}={\frac {\partial \ln v}{\partial \ln s}}$

дифференциация в пространстве журналов является очевидным подходом. Логарифмическое дифференцирование особенно удобно в таких программах по алгебре, как Mathematica или Maple, где можно определить правила логарифмического дифференцирования.

Более подробное рассмотрение и правила дифференцирования в пространстве журналов можно найти в разделе Эластичность функции .

Матрица эластичности

Немасштабированная эластичность может быть изображена в матричной форме, называемой немасштабированной матрицей эластичности. ${\mathcal {E}}$. Учитывая сеть с $m$ молекулярные виды и $n$ реакций немасштабированная матрица упругости определяется как:

${\mathcal {E}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial s_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial s_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial s_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial v_{n}}{\partial s_{m}}}\end{bmatrix}}.$

Аналогично, возможно ли также определить матрицу масштабированных эластичностей:

$\mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s_{1}}^{v_{1}}&\cdots &\varepsilon _{s_{m}}^{v_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varepsilon _{s_{1}}^{v_{n}}&\cdots &\varepsilon _{s_{m}}^{v_{n}}\end{bmatrix}}.$

См. также

• Коэффициент контроля (биохимия)
• Анализ метаболического контроля

Дальнейшее чтение

• Корниш-Боуден, Атель (1995). Основы кинетики ферментов . Портленд Пресс.
• Фелл Д. (1997). Понимание контроля метаболизма . Портленд Пресс.
• Генрих, Рейнхарт; Шустер, Стефан (1996). Регуляция клеточных систем . Чепмен и Холл.