Проблема Лемера

Для решения проблемы меры Малера Лемера см. гипотезу Лемера .

Нерешенная задача по математике :

Может ли тотент-функция составного числа $n$ разделять $n-1$?

(еще нерешенные задачи по математике)

В математике проблема тотента Лемера спрашивает, существует ли какое-либо составное число n такое, что функция тотента Эйлера φ( n ) делит n - 1. Это нерешенная проблема.

Известно, что φ( n ) = n − 1 тогда и только тогда, когда n простое. Таким образом, для каждого простого числа n мы имеем φ( n ) = n − 1 и, таким образом, в частности φ( n ) делит n − 1. Д. Х. Лемер предположил в 1932 году, что не существует составных чисел с этим свойством.

История

• Лемер показал, что если какое-либо составное решение n существует, оно должно быть нечетным, свободным от квадратов и делиться как минимум на семь различных простых чисел (т.е. ω(n) ≥ 7 ). Такое число также должно быть числом Кармайкла .
• В 1980 году Коэн и Хагис доказали, что для любого решения n проблемы n > 10. ²⁰ и ω( n ) ≥ 14.
• В 1988 году Хагис показал, что если 3 делит любое решение n , то n > 10. ^{1 937 042} и ω( n ) ≥ 298 848 . Впоследствии это было улучшено Бурчи, Чирбушем и Фаркашем, которые показали, что если 3 делит любое решение n , то n > 10. ^{360 000 000} и ω( n ) ≥ 40 000 000 .
• Результат 2011 года показывает, что количество решений проблемы менее $X$ самое большее ${X^{1/2}/(\log X)^{1/2+o(1)}}$.

Ссылки

• Коэн, Грэм Л.; Хаггис, Питер, июнь. (1980). «О количестве простых делителей числа n , если φ( n ) делит n −1». Новая Арка. Вискд . III серия. 28 : 177–185. ISSN   0028-9825 . Збл   0436.10002 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . Б37. ISBN  0-387-20860-7 . Збл   1058.11001 .
• Хаггис, Питер, июнь. (1988). «Об уравнении M ⋅φ( n )= n −1». Новая Арка. Вискд . IV серия. 6 (3): 255–261. ISSN   0028-9825 . Збл   0668.10006 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Лемер, Д.Х. (1932). «О тотент-функции Эйлера» . Бюллетень Американского математического общества . 38 (10): 745–751. дои : 10.1090/s0002-9904-1932-05521-5 . ISSN   0002-9904 . Збл   0005.34302 .
• Лука, Флориан; Померанс, Карл (2011). «О составных целых числах n, для которых $\varphi (n)\mid n-1$" . Bol. Soc. Mat. Mexicana . 17 (3): 13–21. ISSN  1405-213X . MR  2978700 .
• Рибенбойм, Пауло (1996). Новая книга рекордов простых чисел (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-94457-5 . Збл   0856.11001 .
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел И. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN  1-4020-4215-9 . Збл   1151.11300 .
• Бурчи, Питер; Чирбуш, Шандор; Фаркас, Габор (2011). «Вычислительное исследование полной проблемы Лемера» (PDF) . Энн. унив. наук. Будапешт. Роландо Этвос, сек. Компьютер . 35 : 43–49. ISSN   0138-9491 . МР   2894552 . Збл   1240.11005 .