Теорема Данжуа – Карлемана – Альфорса

Теорема Данжуа-Карлемана-Альфорса утверждает, что количество асимптотических значений, достигаемых непостоянной целой функцией порядка ρ на кривых, идущих наружу к бесконечному абсолютному значению, меньше или равно 2ρ. Впервые это было предположено Арно Данжуа в 1907 году. ^[1]Торстен Карлеман показал, что количество асимптотических значений меньше или равно (5/2)ρ в 1921 году. ^[2]В 1929 году Ларс Альфорс подтвердил гипотезу Данжуа о 2ρ. ^[3]Наконец, в 1933 году Карлеман опубликовал очень краткое доказательство. ^[4]

Использование термина «асимптотическое значение» не означает, что отношение этого значения к значению функции приближается к 1 (как в асимптотическом анализе ) при движении по определенной кривой, а, скорее, что значение функции приближается к асимптотическому значению. вдоль кривой. Например, при движении вдоль действительной оси к отрицательной бесконечности функция $\exp(z)$ приближается к нулю, но частное $0/\exp(z)$ не переходит в 1.

Примеры [ править ]

Функция $\exp(z)$ имеет порядок 1 и имеет только одно асимптотическое значение, а именно 0. То же самое относится и к функции $\sin(z)/z,$ но асимптота достигается в двух противоположных направлениях.

Случай, когда число асимптотических значений равно 2ρ, представляет собой синус-интеграл ${\text{Si}}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,d\zeta$ , функция порядка 1, которая стремится к −π/2 вдоль вещественной оси, приближающейся к отрицательной бесконечности, и к +π/2 в противоположном направлении.

Интеграл функции $a\sin(z^{2})/z+b\sin(z^{2})/z^{2}$ представляет собой пример функции второго порядка с четырьмя асимптотическими значениями (если b не равно нулю), приближающейся по направлению наружу от нуля вдоль действительной и мнимой осей.

В более общем смысле, $f(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\sin(\zeta ^{\rho })}{\zeta ^{\rho }}}d\zeta ,$ где ρ — любое положительное целое число, имеет порядок ρ и имеет 2ρ асимптотических значений.

Ясно, что теорема применима к полиномам только в том случае, если они не являются постоянными. Постоянный полином имеет 1 асимптотическое значение, но имеет порядок 0.

Ссылки [ править ]

^ Арно Данжуа (8 июля 1907 г.). «О целых функциях конечного рода» . Доклады Академии наук . 145 :106–8.
^ Т. Карлеман (1921). «Об обратных функциях целочисленных функций конечного порядка». Архивы математики, астрономии и физики . 15 (10): 7.
^ Л. Альфорс (1929). «Об асимптотических значениях целых функций конечного порядка». Annales Academiae Scientiarum Fennicae . 32 (6):15.
^ Т. Карлеман (3 апреля 1933 г.). «О дифференциальном неравенстве в теории аналитических функций» . Доклады Академии наук . 196 :995–7.

[1] Арно Данжуа (8 июля 1907 г.). «О целых функциях конечного рода» . Доклады Академии наук . 145 :106–8.

[2] Т. Карлеман (1921). «Об обратных функциях целочисленных функций конечного порядка». Архивы математики, астрономии и физики . 15 (10): 7.

[3] Л. Альфорс (1929). «Об асимптотических значениях целых функций конечного порядка». Annales Academiae Scientiarum Fennicae . 32 (6):15.

[4] Т. Карлеман (3 апреля 1933 г.). «О дифференциальном неравенстве в теории аналитических функций» . Доклады Академии наук . 196 :995–7.

[1]

[2]

[3]

[4]