Треугольник номеров разделов

В теории чисел целочисленных разбиений числа $p_{k}(n)$ обозначают как количество разделов $n$ точно в $k$ части (то есть суммы $k$ положительные целые числа, которые добавляются к $n$) и количество разделов $n$ на части максимального размера ровно $k$. Эти два типа разбиения находятся в биекции друг с другом за счет диагонального отражения их диаграмм Юнга . Их номера можно расположить в треугольник, треугольник номеров разделов , в котором $n$В этой строке указаны номера разделов $p_{1}(n),p_{2}(n),\dots ,p_{n}(n)$:

к н	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	1	1
3	1	1	1
4	1	2	1	1
5	1	2	2	1	1
6	1	3	3	2	1	1
7	1	3	4	3	2	1	1
8	1	4	5	5	3	2	1	1
9	1	4	7	6	5	3	2	1	1

Рекуррентное отношение

Аналогично треугольнику Паскаля эти числа можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения $$p_{k}(n)=p_{k-1}(n-1)+p_{k}(n-k).$$В качестве базовых случаев $p_{1}(1)=1$, и любое значение в правой части повторения, которое находится за пределами треугольника, можно принять за ноль. Это уравнение можно объяснить, заметив, что каждое разбиение $n$ в $k$ штук, пересчитанных $p_{k}(n)$, можно сформировать либо добавлением куска размером один к разделу размером $n-1$ в $k-1$ штук, пересчитанных $p_{k-1}(n-1)$или увеличивая на единицу каждую часть в разделе из $n-k$ в $k$ штук, пересчитанных $p_{k}(n-k)$.

Суммы строк и диагонали

В треугольнике номеров разделов сумма чисел в $n$эта строка — номер раздела $p(n)$. Эти числа образуют последовательность

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, ...,

опуская начальное значение $p(0)=1$ номеров разделов.Каждая диагональ от верхнего левого угла до нижнего правого в конечном итоге является постоянной, причем постоянные части этих диагоналей простираются примерно от середины каждой строки до ее конца. Значениями этих констант являются номера разделов 1, 1, 2, 3, 5, 7, ... еще раз.