тест Койпера

Критерий Койпера используется в статистике для проверки того, взята ли выборка данных из заданного распределения (одновыборочный тест Койпера) или две выборки данных взяты из одного и того же неизвестного распределения (двухвыборочный тест Койпера). Он назван в честь голландского математика Николааса Койпера .

Тест Койпера тесно связан с более известным тестом Колмогорова-Смирнова (или тестом КС, как его часто называют). Как и в случае с тестом KS, статистика расхождений D ⁺ и Д ⁻ представляют собой абсолютные размеры наиболее положительных и наиболее отрицательных различий между двумя кумулятивными функциями распределения сравниваемыми . Хитрость теста Койпера заключается в использовании величины D ⁺ + Д ⁻ в качестве тестовой статистики. Это небольшое изменение делает критерий Койпера столь же чувствительным как в хвостах, так и в медиане , а также делает его инвариантным относительно циклических преобразований независимой переменной. Тест Андерсона -Дарлинга — еще один тест, который обеспечивает чувствительность на хвостах, равную медиане, но не обеспечивает циклическую инвариантность.

Эта инвариантность относительно циклических преобразований делает тест Койпера неоценимым при проверке циклических изменений в зависимости от времени года, дня недели или времени суток, а также в более общем плане для проверки соответствия круговых распределений вероятностей и различий между ними .

Одновыборочный тест Койпера

Иллюстрация статистики двухвыборочного теста Койпера. Красные и синие линии соответствуют эмпирической функции распределения, а черные стрелки показывают расстояния между точками, которые в сумме соответствуют статистике Койпера.

Статистика одновыборочного теста, $V_{n}$, для теста Койпера определяется следующим образом. Пусть F — непрерывная кумулятивная функция распределения , которая должна быть нулевой гипотезой . Обозначим через F _n эмпирическую функцию распределения для n независимых и одинаково распределенных (iid) наблюдений X _i , которая определяется как

$F_{n}(x)={\frac {{\text{number of (elements in the sample}}\leq x)}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1_{(-\infty ,x]}(X_{i}),$

где $1_{(-\infty ,x]}(X_{i})$ – индикаторная функция , равная 1, если $X_{i}\leq x$ и равен 0 в противном случае.

Тогда односторонняя Колмогорова–Смирнова статистика для данной кумулятивной функции распределения F ( x ) равна

$D_{n}^{+}=\sup _{x}[F_{n}(x)-F(x)],$

$D_{n}^{-}=\sup _{x}[F(x)-F_{n}(x)],$

где $\sup$ является супремум-функцией . И, наконец, одновыборочный тест Койпера определяется как:

$V_{n}=D_{n}^{+}+D_{n}^{-},$

или эквивалентно

$V_{n}=\sup _{x}[F_{n}(x)-F(x)]-\inf _{x}[F_{n}(x)-F(x)],$

где $\inf$ – это минимальная функция .

Таблицы критических точек статистики испытаний $V_{n}$ доступны, параметры семейства распределений и к ним относятся определенные случаи, когда тестируемое распределение не полностью известно, поэтому оцениваются .

Асимптотическое распределение статистики ${\sqrt {n}}V_{n}$ дается,

${\begin{aligned}\operatorname {Pr} ({\sqrt {n}}V_{n}\leq x)=&1-2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}(4k^{2}x^{2}-1)e^{-2k^{2}x^{2}}\\&+{\frac {8}{3{\sqrt {n}}}}x\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}(4k^{2}x^{2}-3)e^{-2k^{2}x^{2}}+o({\frac {1}{n}}).\end{aligned}}$

Для $x>{\frac {6}{5}}$разумное приближение получается из первого члена ряда следующим образом

$1-2(4x^{2}-1)e^{-2x^{2}}+{\frac {8x}{3{\sqrt {n}}}}(4x^{2}-3)e^{-2x^{2}}.$

Двухвыборочный тест Койпера

Тест Койпера также можно использовать для проверки того, соответствует ли пара случайных выборок реальной линии или круга общему, но неизвестному распределению. В этом случае статистика Койпера равна

$V_{n,m}=\sup _{x}[F_{1,n}(x)-F_{2,m}(x)]-\inf _{x}[F_{1,n}(x)-F_{2,m}(x)],$

где $F_{1,n}$ и $F_{2,m}$ – эмпирические функции распределения первой и второй выборки соответственно, $\sup$ — верхняя функция , а $\inf$ – это минимальная функция .

Пример

Мы могли бы проверить гипотезу о том, что в некоторые времена года компьютеры выходят из строя чаще, чем в другие. Чтобы проверить это, мы собирали даты, когда тестовый набор компьютеров вышел из строя, и строили эмпирическую функцию распределения . Нулевая гипотеза заключается в том, что отказы распределены равномерно . Статистика Койпера не изменится, если мы изменим начало года, и не требует, чтобы мы разбивали неудачи на месяцы или что-то в этом роде. Другой тестовой статистикой, обладающей этим свойством, является статистика Ватсона. что связано с тестом Крамера-фон Мизеса .

Однако, если сбои происходят в основном по выходным, многие тесты равномерного распределения, такие как KS и Kuiper, пропустят это, поскольку выходные дни распределены в течение года. Эта неспособность отличить распределения гребенчатой ​​формы от непрерывных равномерных распределений является ключевой проблемой всей статистики, основанной на варианте теста КС. Тест Койпера, примененный к времени событий по модулю одна неделя, способен обнаружить такую ​​закономерность. Использование времени событий, модулированного с помощью теста KS, может привести к разным результатам в зависимости от того, как данные поэтапно распределены. В этом примере тест KS может обнаружить неравномерность, если данные настроены на начало недели в субботу, но не сможет обнаружить неравномерность, если неделя начинается в среду.

См. также

• Kolmogorov–Smirnov test