Наклон градиента

В математике косой градиент гармонической функции в односвязной области с двумя действительными измерениями представляет собой векторное поле , которое везде ортогонально градиенту , функции и имеет ту же величину что и градиент.

Определение

Градиент перекоса можно определить с помощью комплексного анализа и уравнений Коши – Римана .

Позволять $f(z(x,y))=u(x,y)+iv(x,y)$ — комплекснозначная аналитическая функция, где u , v — вещественные скалярные функции действительных переменных x , y .

Косой градиент определяется как:

$\nabla ^{\perp }u(x,y)=\nabla v(x,y)$

и из уравнений Коши–Римана выводится, что

$\nabla ^{\perp }u(x,y)=(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}})$

Характеристики

У наклонного градиента есть два интересных свойства. Он везде ортогонален градиенту u и имеет ту же длину:

$\nabla u(x,y)\cdot \nabla ^{\perp }u(x,y)=0,\rVert \nabla u\rVert =\rVert \nabla ^{\perp }u\rVert$

Ссылки

• Питер Олвер , Введение в уравнения в частных производных, гл. 7, с. 232