Ссылка (симплициальный комплекс)
Ссылка в симплициальном комплексе является обобщением окрестности вершины графа. Ссылка вершины кодирует информацию о локальной структуре комплекса в вершине.
Ссылка вершины
[ редактировать ]Учитывая абстрактный симплициальный комплекс X и вершина в , его ссылка это набор, содержащий каждое лицо такой, что и лицом X. является
- В частном случае, когда X является одномерным комплексом (то есть графом ), содержит все вершины такой, что — ребро графа; то есть, окрестности в графике.
Учитывая геометрический симплициальный комплекс X и , его ссылка это набор, содержащий каждое лицо такой, что и есть симплекс у которого есть как вершина и как лицо. [1] : 3 Эквивалентно, соединение это лицо в . [2] : 20
- В качестве примера предположим, что v — верхняя вершина тетраэдра слева. Тогда звено v — это треугольник в основании тетраэдра. Это связано с тем, что для каждого ребра этого треугольника соединение v с ребром представляет собой треугольник (один из трех треугольников на сторонах тетраэдра); а соединение v с самим треугольником представляет собой весь тетраэдр.
Альтернативное определение: ссылка вершины — граф Lk( v , X ), построенный следующим образом. Вершины Lk( v , X ) — это ребра X, инцидентные v . Два таких ребра смежны в Lk( v , X ) тогда и только тогда, когда они инцидентны общей 2-клетке в точке v .
- Графу Lk( v , X ) часто задают топологию шара ; малого радиуса с центром в v точке это аналог сферы с центром в точке. [3]
Ссылка на лицо
[ редактировать ]Определение связи может быть расширено от одной вершины до любой грани.
Дан абстрактный симплициальный комплекс X и любая грань X ссылка , его это набор, содержащий каждое лицо такой, что непересекающиеся и является лицом X : .
Дан геометрический симплициальный комплекс X и любая грань , его ссылка это набор, содержащий каждое лицо такой, что не пересекаются и существует симплекс у этого есть оба и как лица. [1] : 3
Примеры
[ редактировать ]Звено вершины тетраэдра представляет собой треугольник: три вершины звена соответствуют трем ребрам, инцидентным вершине, а три ребра звена соответствуют граням, инцидентным вершине. В этом примере связь можно визуализировать, отсекая вершину плоскостью; формально, пересекая тетраэдр плоскостью вблизи вершины – полученное сечение и есть звено.
Другой пример показан ниже. Существует двумерный симплициальный комплекс. Слева вершина отмечена желтым цветом. Справа ссылка на эту вершину отмечена зеленым цветом.
- А вершина и ее связь .
Характеристики
[ редактировать ]- Для любого симплициального комплекса X каждое звено закрыт сверху вниз и, следовательно, тоже является симплициальным комплексом; это подкомплекс X .
- Поскольку X симплициально, существует изоморфизм множеств между и набор : каждый соответствует , который находится в .
Ссылка и звездочка
[ редактировать ]Понятие, тесно связанное со ссылкой, — это звезда .
Дан абстрактный симплициальный комплекс X и любая грань , , это звезда это набор, содержащий каждое лицо такой, что лицом X. является В частном случае, когда X является одномерным комплексом (то есть графом ), содержит все ребра для всех вершин которые являются соседями . То есть это звезда теории графов с центром в .
Дан геометрический симплициальный комплекс X и любая грань , это звезда это набор, содержащий каждое лицо такая, что существует симплекс имея оба и как лица: . Другими словами, это замыкание множества -- множество симплексов, имеющих как лицо.
Таким образом, ссылка является подмножеством звезды. Звездочка и ссылка связаны следующим образом:
Пример проиллюстрирован ниже. Существует двумерный симплициальный комплекс. Слева вершина отмечена желтым цветом. Справа звезда этой вершины отмечена зеленым цветом.
- А вершина и ее звезда .
См. также
[ редактировать ]- Вершинная фигура — геометрическое понятие, подобное симплициальному звену.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с Брайант, Джон Л. (1 января 2001 г.), Даверман, Р.Дж.; Шер, Р.Б. (ред.), «Глава 5 — Кусочно-линейная топология» , Справочник по геометрической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 219–259, ISBN 978-0-444-82432-5 , получено 15 ноября 2022 г.
- ^ Перейти обратно: а б Рурк, Колин П .; Сандерсон, Брайан Дж. (1972). Введение в кусочно-линейную топологию . дои : 10.1007/978-3-642-81735-9 . ISBN 978-3-540-11102-3 .
- ^ Бридсон, Мартин ; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Springer , ISBN 3-540-64324-9