последовательность Лемера

«Число Лемера» перенаправляется сюда. Это также может относиться к гипотетическому решению проблемы Лемера .

В математике последовательность Лемера является обобщением последовательности Люка .

Алгебраические отношения

Если a и b — комплексные числа с

$a+b={\sqrt {R}}$

$ab=Q$

при следующих условиях:

• Q и R — относительно простые ненулевые целые числа.
• $a/b$ не является корнем единства .

Тогда соответствующие числа Лемера будут:

$U_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}$

для n нечетно и

$U_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a^{2}-b^{2}}}$

для н даже .

Их сопутствующие номера:

$V_{n}({\sqrt {R}},Q)={\frac {a^{n}+b^{n}}{a+b}}$

для n нечетного и

$V_{n}({\sqrt {R}},Q)=a^{n}+b^{n}$

даже для н .

Повторение

Числа Лемера образуют линейное рекуррентное соотношение с

$U_{n}=(R-2Q)U_{n-2}-Q^{2}U_{n-4}=(a^{2}+b^{2})U_{n-2}-a^{2}b^{2}U_{n-4}$

с начальными значениями $U_{0}=0,\,U_{1}=1,\,U_{2}=1,\,U_{3}=R-Q=a^{2}+ab+b^{2}$. Аналогично сопутствующая последовательность удовлетворяет

$V_{n}=(R-2Q)V_{n-2}-Q^{2}V_{n-4}=(a^{2}+b^{2})V_{n-2}-a^{2}b^{2}V_{n-4}$

с начальными значениями $V_{0}=2,\,V_{1}=1,\,V_{2}=R-2Q=a^{2}+b^{2},\,V_{3}=R-3Q=a^{2}-ab+b^{2}.$