Сомерс Д

В статистике Сомерса D , иногда неправильно называемый D Сомерса , является мерой порядковой связи между двумя возможно зависимыми случайными $X$ и $Y.$ величинами Сомерс D принимает значения между $-1$ когда все пары переменных не совпадают и $1$ когда все пары переменных совпадают. Сомерса D назван в честь Роберта Х. Сомерса, который предложил его в 1962 году. ^{[ 1 ]}

Сомерса D играет центральную роль в ранговой статистике и является параметром многих непараметрических методов. ^{[ 2 ]} Он также используется в качестве меры качества бинарного выбора или порядковой регрессии (например, логистической регрессии ) и кредитного скоринга моделей .

Somers' D для образца

Мы говорим, что две пары $(x_{i},y_{i})$ и $(x_{j},y_{j})$ согласованы, если ранги обоих элементов совпадают, или $x_{i}>x_{j}$ и $y_{i}>y_{j}$ или если $x_{i}<x_{j}$ и $y_{i}<y_{j}$ . Мы говорим, что две пары $(x_{i},y_{i})$ и $(x_{j},y_{j})$ несогласны, если ранги обоих элементов не совпадают или если $x_{i}>x_{j}$ и $y_{i}<y_{j}$ или если $x_{i}<x_{j}$ и $y_{i}>y_{j}$ . Если $x_{i}=x_{j}$ или $y_{i}=y_{j}$ , пара не является ни согласованной, ни несогласной.

Позволять $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$ быть набором наблюдений двух возможно зависимых случайных векторов $X$ и $Y$ . Определите коэффициент ранговой корреляции тау Кендалла $\tau$ как

\tau ={\frac {N_{C}-N_{D}}{n(n-1)/2}},

где $N_{C}$ количество согласованных пар и $N_{D}$ - количество несогласных пар. Сомерса D Y $X$ относительно $как$ определяется $D_{YX}=\tau (X,Y)/\tau (X,X)$ . ^{[ 2 ]} Обратите внимание, что тау Кендалла симметрично по $X$ и $Y$ Сомерса D асимметрично по $X$ и $Y.$ , тогда как

Как $\tau (X,X)$ определяет количество пар с неравными $значениями X$ Сомерса , D - это разница между количеством согласованных и несогласованных пар, деленная на количество пар со $значениями X$ в неравной паре.

Somers ' D для распространения

Пусть две независимые двумерные случайные величины $(X_{1},Y_{1})$ и $(X_{2},Y_{2})$ имеют одинаковое распределение вероятностей $\operatorname {P} _{XY}$ . Сомерса Опять же, D , который измеряет порядковую ассоциацию случайных величин $X$ и $Y$ в $\operatorname {P} _{XY}$ , можно определить через тау Кендалла

{\begin{aligned}\tau (X,Y)&=\operatorname {E} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2}){\Bigr )}\\&=\operatorname {P} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2})=1{\Bigr )}-\operatorname {P} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2})=-1{\Bigr )},\\\end{aligned}}

или разность между вероятностями согласия и несогласия. Сомерса D Y $X$ относительно $как$ определяется $D_{YX}=\tau (X,Y)/\tau (X,X)$ . Таким образом, $D_{YX}$ - это разница между двумя соответствующими вероятностями, при условии, что $значения X$ не равны. Если $X$ имеет непрерывное распределение вероятностей , то $\tau (X,X)=1$ и тау Кендалла и D Сомерса совпадают. Сомерса D нормализует тау Кендалла для возможных массовых точек переменной $X$ .

Если $X$ и $Y$ Сомерса оба двоичные со значениями 0 и 1, то D — это разница между двумя вероятностями:

D_{YX}=\operatorname {P} (Y=1\mid X=1)-\operatorname {P} (Y=1\mid X=0).

Сомерса D для двоичных зависимых переменных

Сомерса На практике D чаще всего используется, когда зависимая переменная Y является двоичной переменной . ^{[ 2 ]} т.е. для бинарной классификации или прогнозирования бинарных результатов, включая модели бинарного выбора в эконометрике. Методы подбора таких моделей включают логистическую и пробит-регрессию .

Для количественной оценки качества таких моделей можно использовать несколько статистических данных: площадь под кривой рабочей характеристики приемника (ROC), гамма Гудмана и Краскала , тау Кендалла (Tau-a) Сомерса , D Сомерса, и т. д. D вероятно, наиболее широко используется доступная порядковая статистика ассоциаций. ^{[ 3 ]} Идентично коэффициенту Джини Сомерса , D относится к площади под кривой рабочей характеристики приемника (AUC), ^{[ 2 ]}

\mathrm {AUC} ={\frac {D_{XY}+1}{2}}

.

В случае, когда независимая (предикторная) переменная $X$ является дискретной , а зависимая (результатная) переменная $Y$ Сомерса является двоичной, D равен

D_{XY}={\frac {N_{C}-N_{D}}{N_{C}+N_{D}+N_{T}}},

где $N_{T}$ — это количество ни согласованных, ни несогласованных пар, которые не связаны по переменной $,$ а не по переменной $Y.$ X

Пример

Предположим, что независимая (предикторная) переменная $X$ принимает три значения: 0,25 , 0,5 или 0,75 , а зависимая (результат) переменная $Y$ принимает два значения: 0 или 1 . В таблице ниже приведены наблюдаемые комбинации $X$ и $Y$ :

Частоты
$Y$ , $X$ пар
$Х$ $И$	0.25	0.5	0.75
0	3	5	2
1	1	7	6

Число согласованных пар равно

N_{C}=3\times 7+3\times 6+5\times 6=69.

Число несогласных пар равно

N_{D}=1\times 5+1\times 2+7\times 2=21.

Количество связанных пар равно общему количеству пар за вычетом согласованных и несогласованных пар.

N_{T}=(3+5+2)\times (1+7+6)-69-21=50

Сомерса Таким образом, D равно

D_{XY}={\frac {69-21}{69+21+50}}\approx 0.34.

Ссылки

^ Сомерс, Р.Х. (1962). «Новая асимметричная мера связи для порядковых переменных». Американский социологический обзор . 27 (6). дои : 10.2307/2090408 . JSTOR 2090408 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ньюсон, Роджер (2002). Сомерса «Параметры «непараметрической» статистики: тау Кендалла, D и медианные различия» . Статический журнал . 2 (1): 45–64.
^ О'Коннелл, А.А. (2006). Модели логистической регрессии для порядковых переменных отклика . Публикации SAGE.

[1] Сомерс, Р.Х. (1962). «Новая асимметричная мера связи для порядковых переменных». Американский социологический обзор . 27 (6). дои : 10.2307/2090408 . JSTOR 2090408 .

[Newson-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ньюсон, Роджер (2002). Сомерса «Параметры «непараметрической» статистики: тау Кендалла, D и медианные различия» . Статический журнал . 2 (1): 45–64.

[3] О'Коннелл, А.А. (2006). Модели логистической регрессии для порядковых переменных отклика . Публикации SAGE.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]