Вариограмма
В пространственной статистике теоретическая вариограмма обозначается , – функция, описывающая степень пространственной зависимости пространственного случайного поля или случайного процесса . Семивариограмма составляет половину вариограммы.
В случае конкретного примера из области добычи золота вариограмма даст меру того, насколько будут различаться процентное содержание золота в двух пробах, взятых из района добычи, в зависимости от расстояния между этими образцами. Образцы, взятые далеко друг от друга, будут различаться больше, чем образцы, взятые близко друг к другу.
Определение
[ редактировать ]Семивариограмма впервые был определен Матероном (1963) как половина среднеквадратичной разницы между значениями в точках ( и ) разделены на расстоянии . [1] [2] Формально
где это точка геометрического поля , и это значение на данный момент. Тройной интеграл имеет более 3 измерений. представляет собой интересующее расстояние разделения (например, в метрах или км). Например, значение может представлять содержание железа в почве в каком-то месте (с географическими координатами широты, долготы и высоты) над некоторым регионом с элементом объема .Чтобы получить вариограмму для заданного , будут выбраны все пары точек на этом точном расстоянии. На практике невозможно отобрать образцы повсюду, поэтому эмпирическая вариограмма вместо этого используется .
Вариограмма в два раза превышает вариограмму и может быть эквивалентно определена как дисперсия разницы между значениями поля в двух местоположениях ( и , обратите внимание на изменение обозначений с к и к ) в разных реализациях поля (Cressie 1993):
Если пространственное случайное поле имеет постоянное среднее значение , это эквивалентно ожиданию квадратичного приращения значений между местоположениями и (Вакернагель 2003) (где и являются точками в пространстве и, возможно, времени):
В случае стационарного процесса вариограмма и семивариограмма могут быть представлены в виде функции разницы только между местоположениями по следующему соотношению (Cressie 1993):
Если процесс, кроме того, изотропен , то вариограмма и семивариограмма могут быть представлены функцией расстояния только (Кресси 1993):
Индексы или обычно не пишутся. Термины используются для всех трех форм функции. Более того, для обозначения семивариограммы иногда используют термин «вариограмма», а символ иногда используется для вариограммы, что вносит некоторую путаницу. [3]
Характеристики
[ редактировать ]Согласно (Cressie 1993, Chiles and Delfiner 1999, Wackernagel 2003) теоретическая вариограмма обладает следующими свойствами:
- Семивариограмма неотрицательна , так как это математическое ожидание квадрата.
- Семивариограмма на расстоянии 0 всегда равно 0, поскольку .
- Функция является вариограммой тогда и только тогда, когда она является условно отрицательно определенной функцией, т.е. для всех весов при условии и локации он содержит:
- что соответствует тому, что дисперсия из задается отрицательным значением этой двойной суммы и должно быть неотрицательным. [ оспаривается – обсуждаем ]
- Если ковариационная функция стационарного процесса существует, она связана с вариограммой соотношением
- Если стационарное случайное поле не имеет пространственной зависимости (т.е. если ), вариограмма – это константа везде, кроме начала координат, где оно равно нулю.
- является симметричной функцией.
- Следовательно, является четной функцией .
- Если случайное поле стационарно и эргодично , то соответствует дисперсии поля. Предел вариограммы также называют ее порогом .
- Как следствие, вариограмма может быть прерывистой только в начале координат. Высоту скачка в начале координат иногда называют эффектом самородка или самородка.
Параметры
[ редактировать ]Таким образом, для описания вариограмм часто используются следующие параметры:
- самородок : Высота скачка вариограммы на разрыве в начале координат.
- подоконник : Предел вариограммы, стремящейся к бесконечности.
- диапазон : Расстояние, на котором отличие вариограммы от порога становится незначительным. В моделях с фиксированным подоконником – это расстояние, на котором он впервые достигается; для моделей с асимптотическим порогом за него принято считать расстояние, на котором полудисперсия впервые достигает 95% порога.
Эмпирическая вариограмма
[ редактировать ]Обычно эмпирическая вариограмма , поскольку информация об образце для измеренных данных необходима доступен не для каждого местоположения. Информацией об образце, например, может быть концентрация железа в образцах почвы или интенсивность пикселей на камере. Каждая часть информации об образце имеет координаты. для 2D-пространства выборки, где и являются географическими координатами. В случае железа в почве пространство образца может быть трехмерным. Если также существует временная изменчивость (например, содержание фосфора в озере), то может быть 4-мерный вектор . В случае, когда размеры имеют разные единицы измерения (например, расстояние и время), тогда коэффициент масштабирования можно применить к каждому из них для получения модифицированного евклидова расстояния. [4]
Выборочные наблюдения обозначены . Образцы можно взять по адресу вообще разные локации. Это предоставит набор образцов в локациях . Обычно на графиках показаны значения вариограммы как функция разделения точек отбора проб. . В случае эмпирической вариограммы интервалы разделительного расстояния используются, а не точные расстояния, и обычно предполагаются изотропные условия (т. е. что является лишь функцией и не зависит от других переменных, таких как центральное положение). Тогда эмпирическая семивариограмма можно рассчитать для каждого контейнера:
Или, другими словами, каждая пара точек, разделенных (плюс или минус некоторый диапазон допуска ширины бункера ) найдены. Они образуют набор точек . Число этих точек в этом интервале равно . Тогда для каждой пары точек , находится квадрат разницы в наблюдениях (например, содержания образца почвы или интенсивности пикселей) ( ). Эти квадраты разностей складываются и нормализуются по натуральному числу. . По определению результат делится на 2 для вариограммы на этом расстоянии.
Для скорости вычислений необходимы только уникальные пары точек. Например, для 2 пар наблюдений [ ] взято из мест с разделением только [ ] необходимо учитывать, так как пары [ ] не предоставляют никакой дополнительной информации.
Модели вариограммы
[ редактировать ]Эмпирическую вариограмму невозможно вычислить на каждом расстоянии задержки. и из-за различий в оценке не гарантируется, что это действительная вариограмма, как определено выше. Однако некоторые геостатистические методы, такие как кригинг, требуют достоверных вариограмм. Таким образом, в прикладной геостатистике эмпирические вариограммы часто аппроксимируются модельной функцией, обеспечивающей достоверность (Chiles&Delfiner 1999). Вот некоторые важные модели (Chiles&Delfiner 1999, Cressie 1993):
- Модель экспоненциальной вариограммы
- Модель сферической вариограммы
- Модель гауссовой вариограммы
Параметр имеет разные значения в разных справочниках из-за неоднозначности определения диапазона. Например это значение, использованное в (Chiles&Delphiner 1999). функция равна 1, если и 0 в противном случае.
Обсуждение
[ редактировать ]используются три функции В геостатистике для описания пространственной или временной корреляции наблюдений : это коррелограмма , ковариация и семивариограмма . Последнюю еще проще называют вариограммой .
Вариограмма является ключевой функцией в геостатистике, поскольку она будет использоваться для построения модели временной/ пространственной корреляции наблюдаемого явления. Таким образом, проводится различие между экспериментальной вариограммой , которая представляет собой визуализацию возможной пространственной/временной корреляции, и моделью вариограммы , которая в дальнейшем используется для определения весов функции кригинга . Обратите внимание, что экспериментальная вариограмма представляет собой эмпирическую оценку ковариации гауссова процесса . По существу, он не может быть положительно определенным и, следовательно, не может быть использован непосредственно в кригинге без ограничений или дальнейшей обработки. Это объясняет, почему используется лишь ограниченное количество моделей вариограмм: чаще всего линейная, сферическая, гауссовая и экспоненциальная модели.
Приложения
[ редактировать ]Эмпирическая вариограмма используется в геостатистике в качестве первой оценки модели вариограммы, необходимой для пространственной интерполяции методом кригинга .
- Эмпирические вариограммы пространственно-временной изменчивости осредненной по столбцу концентрации углекислого газа использовались для определения критериев совпадения спутниковых и наземных измерений. [4]
- Эмпирические вариограммы рассчитывались для плотности гетерогенного материала (Гилсокарбон). [5]
- Эмпирические вариограммы рассчитываются на основе наблюдений сильных движений грунта в результате землетрясений . [6] Эти модели используются для оценки сейсмического риска и потерь пространственно-распределенной инфраструктуры. [7]
Связанные понятия
[ редактировать ]Квадрат члена в вариограмме, например , можно заменить разными степенями: Мадограмма определяется с абсолютной разностью , , а родограмма определяется квадратным корнем абсолютной разности, . Оценщики, основанные на этих более низких степенях, считаются более устойчивыми к выбросам . Их можно обобщить как «вариограмму порядка α »,
- ,
у которых вариограмма имеет порядок 2, мадограмма — вариограмма порядка 1, родограмма — вариограмма порядка 0,5. [8]
Когда вариограмма используется для описания корреляции различных переменных, ее называют кросс-вариограммой . Кросс-вариограммы используются в ко-кригинге .Если переменная является бинарной или представляет классы значений, тогда речь идет об индикаторных вариограммах . Индикаторные вариограммы используются в индикаторном кригинге .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Матерон, Жорж (1963). «Принципы геостатистики». Экономическая геология . 58 (8): 1246–1266. дои : 10.2113/gsecongeo.58.8.1246 . ISSN 1554-0774 .
- ^ Форд, Дэвид. «Эмпирическая вариограмма» (PDF) . факультет.washington.edu/edford . Проверено 31 октября 2017 г.
- ^ Бахмайер, Мартин; Бэкес, Маттиас (24 февраля 2008 г.). «Вариограмма или семивариограмма? Понимание дисперсий вариограммы». Точное земледелие . 9 (3). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 173–175. дои : 10.1007/s11119-008-9056-2 . ISSN 1385-2256 .
- ^ Jump up to: а б Нгуен, Х.; Остерман, Г.; Вунч, Д.; О'Делл, К.; Мандрагора, Л.; Веннберг, П.; Фишер, Б.; Кастано, Р. (2014). «Метод сопоставления спутниковых данных X CO 2 с наземными данными и его применение в ACOS-GOSAT и TCCON» . Методы измерения атмосферы . 7 (8): 2631–2644. Бибкод : 2014AMT.....7.2631N . дои : 10.5194/amt-7-2631-2014 . ISSN 1867-8548 .
- ^ Арреги Мена, доктор юридических наук; и др. (2018). «Характеристика пространственной изменчивости свойств материалов Gilsocarbon и NBG-18 с использованием случайных полей» . Журнал ядерных материалов . 511 : 91–108. Бибкод : 2018JNuM..511...91A . дои : 10.1016/j.jnucmat.2018.09.008 .
- ^ Скьяппапьетра, Эрика; Дуглас, Джон (апрель 2020 г.). «Моделирование пространственной корреляции движения грунта при землетрясении: выводы из литературы, данные последовательности землетрясений в Центральной Италии в 2016–2017 годах и моделирование движения грунта» . Обзоры наук о Земле . 203 : 103139. Бибкод : 2020ESRv..20303139S . doi : 10.1016/j.earscirev.2020.103139 .
- ^ Соколов Владимир; Венцель, Фридеманн (25 июля 2011 г.). «Влияние пространственной корреляции сильных движений грунта на неопределенность оценки ущерба от землетрясения». Сейсмическая инженерия и структурная динамика . 40 (9): 993–1009. дои : 10.1002/eqe.1074 .
- ^ Олеа, Рикардо А. (1991). Геостатистический глоссарий и многоязычный словарь . Издательство Оксфордского университета. стр. 47, 67, 81. ISBN. 9780195066890 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Кресси, Н., 1993, Статистика пространственных данных, Wiley Interscience.
- Чайлз, Дж. П., П. Дельфинер, 1999, Геостатистика, моделирование пространственной неопределенности, Wiley-Interscience.
- Вакернагель, Х., 2003, Многомерная геостатистика, Springer.
- Берроу, Пенсильвания и Макдоннелл, Р.А., 1998, Принципы географических информационных систем.
- Изобель Кларк, 1979, Практическая геостатистика, Издательство прикладной науки .
- Кларк И., 1979, Практическая геостатистика , Издательство Applied Science Publishers.
- Дэвид, М., 1978, Геостатистическая оценка запасов руды , издательство Elsevier.
- Хальд А., 1952, Статистическая теория с инженерными приложениями , John Wiley & Sons, Нью-Йорк.
- Журнель, А.Г. и Хейбрегтс, Ч. Дж., 1978 Горная геостатистика , Академическое издательство.
- Гласс, Х.Дж., 2003, Метод оценки качества вариограммы, Журнал Южноафриканского института горного дела и металлургии .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- AI-GEOSTATS: образовательный ресурс по геостатистике и пространственной статистике.
- Геостатистика: лекция Рудольфа Даттера в Венском техническом университете