Группа семьи

В теории вероятностей , особенно когда это поле используется в статистике , групповое семейство вероятностных распределений — это семейство, полученное путем подвергания случайной величины с фиксированным распределением подходящему семейству преобразований, такому как семейство масштабов местоположения или, иначе, семейство вероятностных распределений, действует группа на которые .

Рассмотрение конкретного семейства распределений как семейства групп может в статистической теории привести к выявлению вспомогательной статистики .

Типы групповых семей

Семейство групп можно создать, подвергая случайную величину с фиксированным распределением некоторым подходящим преобразованиям . Различные типы групповых семей следующие:

Расположение Семья

Это семейство получается добавлением константы к случайной величине . Позволять $X$ быть случайной величиной и $a\in R$ быть константой. Позволять ${\textstyle Y=X+a}$ . Затем $$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X+a\leq y)=P(X\leq y-a)=F_{X}(y-a)$$Для фиксированного распределения, как $a$ варьируется от $-\infty$ к $\infty$ , полученные нами распределения составляют семейство местоположений.

Семейство весов

Это семейство получается умножением случайной величины на константу. Позволять $X$ быть случайной величиной и $c\in R^{+}$ быть константой. Позволять ${\textstyle Y=cX}$ . Затем $$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(cX\leq y)=P(X\leq y/c)=F_{X}(y/c)$$

Локация — Семья Весов

Это семейство получается путем умножения случайной величины на константу и последующего добавления к ней другой константы. Позволять $X$ быть случайной величиной , $a\in R$ и $c\in R^{+}$быть константами. Позволять $Y=cX+a$. Затем

$$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(cX+a\leq y)=P(X\leq (y-a)/c)=F_{X}((y-a)/c)$$

Обратите внимание, что важно, чтобы ${\textstyle a\in R}$ и $c\in R^{+}$ для удовлетворения свойств, упомянутых в следующем разделе.

Свойства преобразований

Преобразование , применяемое к случайной величине, должно удовлетворять следующим свойствам.

• Закрытие под композицию
• Замыкание при инверсии