Вторая теорема Минковского

В математике вторая теорема Минковского представляет собой результат геометрии чисел о значениях, принимаемых нормой решетки , и объеме ее фундаментальной ячейки.

Параметр

Пусть K — замкнутое выпуклое центрально-симметричное тело положительного конечного объема в n -мерном евклидовом пространстве R ^н . Датчик ​ или расстояние Функционал Минковского g, присоединенный к K, определяется выражением $$g(x)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb {R} :x\in \lambda K\right\}.$$

Обратно, если задана норма g на R ^н мы определяем K как $$K=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)\leq 1\right\}.$$

Пусть Γ — решетка в R ^н . Последовательные минимумы K инфимума или g на Γ определяются путем установки -го последовательного минимума λ _k как k чисел λ таких, что λK содержит k линейно независимых векторов Γ . Имеем 0 < λ ₁ ≤ λ ₂ ≤ ... ≤ λ _n < ∞ .

Заявление

Последовательные минимумы удовлетворяют $${\frac {2^{n}}{n!}}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right)\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right).$$

Доказательство

Базис линейно независимых векторов решетки b ₁ , b ₂ , ..., b _n может быть определен как g ( b _j ) = λ _j .

Нижняя оценка доказывается путем рассмотрения выпуклого многогранника 2 n с вершинами в ± b _j / λ _j , внутренность которого заключена в K , и объем которого равен 2 ^н / н ! λ ₁ λ ₂ ... λ _n , умноженное на целое число, кратное примитивной ячейке решетки (как видно из масштабирования многогранника на λ _j вдоль каждого базисного вектора для получения 2 ^н n -симплексы с точечными векторами решетки).

Чтобы доказать верхнюю оценку, рассмотрим функции f _j ( x ), отправляющие точки x в ${\textstyle K}$ к центроиду подмножества точек в ${\textstyle K}$ это можно записать как ${\textstyle x+\sum _{i=1}^{j-1}a_{i}b_{i}}$ для некоторых действительных чисел ${\textstyle a_{i}}$. Тогда преобразование координат $$x'=h(x)=\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{i-1})f_{i}(x)/2$$ имеет определитель Якобиана ${\textstyle J=\lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{n}/2^{n}}$. Если ${\textstyle p}$ и ${\textstyle q}$ находятся внутри ​ ${\textstyle K}$ и ${\textstyle p-q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}}$(с ${\textstyle a_{k}\neq 0}$) затем $$(h(p)-h(q))=\sum _{i=0}^{k}c_{i}b_{i}\in \lambda _{k}K$$ с ${\textstyle c_{k}=\lambda _{k}a_{k}/2}$, где включение в ${\textstyle \lambda _{k}K}$ (в частности, интерьер ${\textstyle \lambda _{k}K}$) обусловлено выпуклостью и симметрией. Но точки решетки внутри ${\textstyle \lambda _{k}K}$ являются, по определению ${\textstyle \lambda _{k}}$, всегда выражаемое как линейная комбинация ${\textstyle b_{1},b_{2},\ldots b_{k-1}}$, поэтому любые две различные точки ${\textstyle K'=h(K)=\{x'\mid h(x)=x'\}}$ не могут быть разделены вектором решетки. Поэтому, ${\textstyle K'}$ должна быть заключена в примитивную ячейку решетки (имеющую объем ${\textstyle \operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$), и, следовательно, ${\textstyle \operatorname {vol} (K)/J=\operatorname {vol} (K')\leq \operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$.

Ссылки

• Кассельс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 45. Издательство Кембриджского университета . Збл   0077.04801 .
• Кассельс, JWS (1997). Введение в геометрию чисел . Классика математики (переиздание изд. 1971 г.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-61788-4 .
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: обратные задачи и геометрия сумм . Тексты для аспирантов по математике . Том. 165. Шпрингер-Верлаг . стр. 180–185. ISBN  0-387-94655-1 . Збл   0859.11003 .
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. Том. 1467 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . п. 6. ISBN  3-540-54058-Х . Збл   0754.11020 .
• Сигел, Карл Людвиг (1989). Комараволу С. Чандрасекхаран (ред.). Лекции по геометрии чисел . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-50629-2 . Збл   0691.10021 .