Расширение Якоби-Ангера

В математике разложение Якоби –Ангера (или тождество Якоби–Ангера ) представляет собой разложение экспонент тригонометрических функций по базису их гармоник. Это полезно в физике (например, для преобразования плоских волн в цилиндрические волны ) и при обработке сигналов (для описания FM- сигналов). Это тождество названо в честь математиков XIX века Карла Якоби и Карла Теодора Ангера .

Самая общая идентичность определяется: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

e^{iz\cos \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta },

где $J_{n}(z)$ это $n$ -я функция Бесселя первого рода и $i$ это мнимая единица , ${\textstyle i^{2}=-1.}$ Замена ${\textstyle \theta }$ к ${\textstyle \theta -{\frac {\pi }{2}}}$ , мы также получаем:

e^{iz\sin \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in\theta }.

Используя соотношение $J_{-n}(z)=(-1)^{n}\,J_{n}(z),$ действительно для целого числа $n$ , расширение становится: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

e^{iz\cos \theta }\equiv J_{0}(z)\,+\,2\,\sum _{n=1}^{\infty }\,i^{n}\,J_{n}(z)\,\cos \,(n\theta ).

Выражения с действительным значением

Часто также полезны следующие варианты с действительными значениями: ^{[ 3 ]}

{\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&\equiv -2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&\equiv 2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}

Не менее полезные выражения из серии Сун: ^{[ 4 ]} ^{[ 5 ]}

{\begin{aligned}\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{2\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu }(x)&={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}\right],\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{4\nu }(x)&=\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}

^ Jump up to: ^а ^б Колтон и Кресс (1998), с. 32.
^ Jump up to: ^а ^б Кайт и др. (2008) с. 344.
^ Абрамовиц и Стегун (1965), с. 361, 9.1.42–45
^ Сун, С.; Ховден, Р. (2022). «О бесконечных рядах функций Бесселя первого рода». arXiv : 2211.01148 [ math-ph ].
^ Уотсон, Дж. Н. (1922). «Трактат по теории функций Бесселя». Издательство Кембриджского университета .

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 9» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 355. ИСБН 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .
Колтон, Дэвид; Кресс, Райнер (1998), Обратная акустическая и электромагнитная теория рассеяния , Прикладные математические науки, том. 93 (2-е изд.), ISBN 978-3-540-62838-5
Кайт, Энни ; Петерсен, Вигдис; Вердонк, Бриджит; Уэйдланд, Хокон; Джонс, Уильям Б. (2008), Справочник непрерывных дробей для специальных функций , Springer, ISBN 978-1-4020-6948-2

Вайсштейн, Эрик В. «Расширение Якоби-Ангера» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 11 ноября 2008 г.