Модуль сечения

Модуль сечения — это геометрическое свойство данного поперечного сечения, используемое при проектировании балок или изгибаемых элементов. Другие геометрические свойства, используемые при проектировании, включают площадь растяжения и сдвига, радиус вращения для сжатия, а также второй момент площади и второй полярный момент площади для жесткости. Любая связь между этими свойствами во многом зависит от рассматриваемой формы. Ниже приведены уравнения для модулей сечения обычных форм. Существует два типа модулей сечения: модуль упругого сечения и модуль пластического сечения. Моменты сечения различных профилей также можно найти в виде числовых значений для общих профилей в таблицах, в которых перечислены их свойства.

Обозначения

Североамериканские и британско-австралийские конвенции меняют использование S & Z . Модуль упругости S в Северной Америке, ^{[ 1 ]} но Z в Великобритании/Австралии, ^{[ 2 ]} и наоборот для модуля пластичности. Еврокод 3 (EN 1993 – Проектирование стали) решает эту проблему, используя W для обоих, но различает их с помощью индексов – W _el и W _pl .

Модуль упругого сечения

Для общего расчета используется модуль упругого сечения, применимый до предела текучести для большинства металлов и других распространенных материалов.

Модуль упругого сечения определяется как S = I / c , где I — второй момент площади (или момент инерции площади, не путать с моментом инерции), а c — расстояние от нейтральной оси до самой крайней точки. волокно. Его часто используют для определения момента текучести ( My _My ) так, что y ₌ S ⋅ σ y _, где σ _y — предел текучести материала.

В таблице ниже приведены формулы модуля упругого сечения для различных форм.

Уравнения модуля сечения ^{[ 3 ]}
Форма поперечного сечения	Уравнение	Комментарий
Прямоугольник	$S={\cfrac {bh^{2}}{6}}$	Сплошная стрелка представляет нейтральную ось.
двоякосимметричный двутавр (большая ось )	$S_{x}={\cfrac {BH^{2}}{6}}-{\cfrac {bh^{3}}{6H}}$ $S_{x}={\tfrac {I_{x}}{y}}$ , с $y={\cfrac {H}{2}}$	NA указывает нейтральную ось
двоякосимметричный двутавр ( малая ось)	$S_{y}={\cfrac {B^{2}(H-h)}{6}}+{\cfrac {(B-b)^{3}h}{6B}}$ ^{[ 4 ]}	NA указывает нейтральную ось
Круг	$S={\cfrac {\pi d^{3}}{32}}$ ^{[ 3 ]}	Сплошная стрелка представляет нейтральную ось.
Круглое полое сечение	$S={\cfrac {\pi \left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}{4r_{2}}}={\cfrac {\pi (d_{2}^{4}-d_{1}^{4})}{32d_{2}}}$	Сплошная стрелка представляет нейтральную ось.
Прямоугольное полое сечение	$S={\cfrac {BH^{2}}{6}}-{\cfrac {bh^{3}}{6H}}$	NA указывает нейтральную ось
Алмаз	$S={\cfrac {BH^{2}}{24}}$	NA указывает нейтральную ось
C-канал	$S={\cfrac {BH^{2}}{6}}-{\cfrac {bh^{3}}{6H}}$	NA указывает нейтральную ось

Модуль пластического сечения

Модуль пластического сечения используется для материалов, для которых упругая текучесть является приемлемой, а пластическое поведение считается приемлемым пределом. В конструкциях обычно стремятся оставаться ниже предела пластичности, чтобы избежать остаточных деформаций, часто сравнивая пластическую способность с увеличенными силами или напряжениями.

Модуль пластического сечения зависит от местоположения нейтральной оси пластика (PNA). PNA определяется как ось, которая разделяет поперечное сечение таким образом, что сила сжатия со стороны области сжатия равна силе растяжения со стороны области растяжения. Так, для сечений с постоянным и равным сжимающим и растягивающим напряжением текучести площадь над и под ПНА будет одинаковой, но для составных сечений это не обязательно так.

Модуль пластического сечения представляет собой сумму площадей поперечного сечения на каждой стороне PNA (которые могут быть равными, а могут и не быть равными), умноженную на расстояние от локальных центроидов двух областей до PNA:

$Z_{P}=A_{C}y_{C}+A_{T}y_{T}$

Модуль пластического сечения не является первым моментом площади . Оба относятся к расчету центроида, но модуль пластического сечения представляет собой сумму всех площадей по обе стороны от PNA (пластической нейтральной оси) и умножается на расстояния от центроида соответствующих областей до центроида поперечного сечения, в то время как Первый момент площади вычисляется по обе стороны от «точки рассмотрения» сечения, он различен по сечению и зависит от точки рассмотрения.

Описание	Уравнение	Комментарий
Прямоугольное сечение	$Z_{P}={\cfrac {bh^{2}}{4}}$ ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}	$A_{C}=A_{T}={\cfrac {bh}{2}}$ , $y_{C}=y_{T}={\cfrac {h}{4}}$
Прямоугольное полое сечение	$Z_{P}={\cfrac {bh^{2}}{4}}-(b-2t)\left({\cfrac {h}{2}}-t\right)^{2}$	где: b = ширина, h = высота, t = толщина стены
Для двух полок двутавровой балки без учета стенки ^{[ 7 ]}	$Z_{P}=b_{1}t_{1}y_{1}+b_{2}t_{2}y_{2}\,$	где: $b_{1},b_{2}$ = ширина, $t_{1},t_{2}$ = толщина, $y_{1},y_{2}$ — расстояния от нейтральной оси до центров тяжести фланцев соответственно.
Для I Beam, включая Интернет	$Z_{P}=bt_{f}(d-t_{f})+0.25t_{w}(d-2t_{f})^{2}$	^{[ 8 ]}
Для двутавровой балки (слабая ось)	$Z_{P}=(b^{2}t_{f})/2+0.25t_{w}^{2}(d-2t_{f})$	d = полная высота двутавровой балки
Сплошной круг	$Z_{P}={\cfrac {d^{3}}{6}}$
Круглое полое сечение	$Z_{P}={\cfrac {d_{2}^{3}-d_{1}^{3}}{6}}$

Модуль пластического сечения используется для расчета пластического момента M _p или полной несущей способности поперечного сечения. Эти два члена связаны пределом текучести рассматриваемого материала F _y по формуле M _p = F _y ⋅ Z . Модуль пластического сечения и модуль упругого сечения связаны коэффициентом формы , который можно обозначить как k , который используется для обозначения способности материала выходить за пределы упругости. Это можно показать математически с помощью формулы:

$k={\cfrac {Z}{S}}$

Коэффициент формы для прямоугольного сечения равен 1,5.

Использование в строительном проектировании

Хотя обычно модуль сопротивления рассчитывается для волокон, подвергающихся сильному растяжению или сжатию в изгибаемой балке, часто сжатие является наиболее критическим случаем из-за возникновения коробления при изгибе и кручении (F/T). Обычно (за исключением хрупких материалов, таких как бетон) волокна с предельным растяжением имеют более высокое допустимое напряжение или емкость, чем волокна сжимающие.

В случае Т-образных сечений, если в нижней части Т-образного профиля имеются растягиваемые волокна, они все же могут быть более критичными, чем сжимающие волокна в верхней части, из-за, как правило, гораздо большего расстояния от нейтральной оси, поэтому, несмотря на более высокое допустимое напряжение, Модуль упругого сечения также ниже. В этом случае коробление F/T все равно необходимо оценить, поскольку длина балки и ограничения могут привести к уменьшению допустимого напряжения или нагрузки на изгиб сжимающего элемента.

Также может существовать ряд различных критических случаев, которые требуют рассмотрения, например, существуют разные значения для ортогональных и главных осей, а в случае неравных угловых сечений в главных осях для каждого угла существует модуль сопротивления.

Для консервативного (безопасного) проектирования инженеры-строители часто обращают внимание на комбинацию наибольшей нагрузки (растягивающей или сжимающей) и наименьшего модуля упругого сечения для данного участка сечения вдоль балки, хотя, если нагрузка хорошо понятна, можно принять преимущество различных моментов сопротивления растяжению и сжатию, позволяющее максимально эффективно использовать конструкцию. Для авиационных и космических применений, где конструкции должны быть гораздо менее консервативными для снижения веса, для обеспечения безопасности часто требуются структурные испытания, поскольку оправдать только структурный анализ сложнее (и дорого).

См. также

Ссылки

^ Спецификация для зданий из стальных конструкций . Чикаго, Иллинойс: Американский институт стальных конструкций, Inc., 2010. с. 16.1–xxxiv.
^ AS4100 — Стальные конструкции . Сидней, Австралия: Стандарты Австралии. 1998. с. 21.
^ Перейти обратно: ^а ^б Гир Дж. М. и Тимнко С., 1997, Механика материалов, 4-е изд., PWS Publishing Co.
^ «Уравнения модуля сечения и распространенные формы калькуляторов» .
^ «Расчет момента сопротивления сечения» .
^ Янг, Уоррен К. (1989). Формулы Рорка для стресса и напряжения (PDF) . МакГроу Хилл. п. 217.
^ Американский институт стальных конструкций: расчет коэффициентов нагрузки и сопротивления, 3-е издание, стр. 17-34.
^ Мегсон, THG (2005). Структурный и стрессовый анализ . остальное. стр. 598 EQ (iv). ISBN 9780080455341 .

[1] Спецификация для зданий из стальных конструкций . Чикаго, Иллинойс: Американский институт стальных конструкций, Inc., 2010. с. 16.1–xxxiv.

[2] AS4100 — Стальные конструкции . Сидней, Австралия: Стандарты Австралии. 1998. с. 21.

[Timo-3] Перейти обратно: ^а ^б Гир Дж. М. и Тимнко С., 1997, Механика материалов, 4-е изд., PWS Publishing Co.

[4] «Уравнения модуля сечения и распространенные формы калькуляторов» .

[5] «Расчет момента сопротивления сечения» .

[6] Янг, Уоррен К. (1989). Формулы Рорка для стресса и напряжения (PDF) . МакГроу Хилл. п. 217.

[7] Американский институт стальных конструкций: расчет коэффициентов нагрузки и сопротивления, 3-е издание, стр. 17-34.

[8] Мегсон, THG (2005). Структурный и стрессовый анализ . остальное. стр. 598 EQ (iv). ISBN 9780080455341 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]