Помеченное преобразование

Информацию о топологическом преобразовании в цепных сетях см. в разделе « Преобразование звезда-треугольник» .

В прикладной математике звездообразное преобразование , или звездообразное преобразование , представляет собой вариацию преобразования Лапласа в дискретном времени , названного так из-за звездочки или «звездочки» в обычном обозначении дискретизированных сигналов. Преобразование является оператором функции непрерывного времени. $x(t)$, которая преобразуется в функцию $X^{*}(s)$ следующим образом:

${\begin{aligned}X^{*}(s)={\mathcal {L}}[x(t)\cdot \delta _{T}(t)]={\mathcal {L}}[x^{*}(t)],\end{aligned}}$

где $\delta _{T}(t)$ — гребенчатая функция Дирака с периодом времени T.

Преобразование со звездочкой — это удобная математическая абстракция, которая представляет преобразование Лапласа импульсной выборочной функции. $x^{*}(t)$, который является результатом идеального сэмплера , входные данные которого являются непрерывной функцией, $x(t)$.

Звездчатое преобразование похоже на Z-преобразование с простой заменой переменных, где звездчатое преобразование явно объявляется в терминах периода выборки (T), тогда как Z-преобразование выполняется на дискретном сигнале и не зависит от выборки. период. Это делает звездчатое преобразование денормализованной версией одностороннего Z-преобразования , поскольку оно восстанавливает зависимость от параметра T. выборки

Связь с преобразованием Лапласа

С $X^{*}(s)={\mathcal {L}}[x^{*}(t)]$, где:

${\begin{aligned}x^{*}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\cdot \delta _{T}(t)&=x(t)\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}$

Тогда согласно теореме о свертке звездное преобразование эквивалентно комплексной свертке ${\mathcal {L}}[x(t)]=X(s)$ и ${\mathcal {L}}[\delta _{T}(t)]={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}$, следовательно:

$X^{*}(s)={\frac {1}{2\pi j}}\int _{c-j\infty }^{c+j\infty }{X(p)\cdot {\frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}}\cdot dp}.$

Это линейное интегрирование эквивалентно интегрированию в положительном смысле по замкнутому контуру, образованному такой линией и бесконечным полукругом, охватывающим полюсы X(s) в левой полуплоскости p . Результатом такого интегрирования (согласно теореме о вычетах ) будет:

$X^{*}(s)=\sum _{\lambda ={\text{poles of }}X(s)}\operatorname {Res} \limits _{p=\lambda }{\bigg [}X(p){\frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}}{\bigg ]}.$

Альтернативно, вышеупомянутое интегрирование линий эквивалентно интегрированию в отрицательном смысле по замкнутому контуру, образованному такой линией и бесконечным полукругом, охватывающим бесконечные полюса ${\frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}}$ в правой полуплоскости p . Результатом такой интеграции будет:

$X^{*}(s)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(s-j{\tfrac {2\pi }{T}}k\right)+{\frac {x(0)}{2}}.$

Связь с Z-преобразованием

Учитывая Z-преобразование X ( z ) , соответствующее преобразование со звездочкой представляет собой простую замену :

${\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}$  

Эта замена восстанавливает зависимость от T .

Это взаимозаменяемо,

${\bigg .}X(z)=X^{*}(s){\bigg |}_{\displaystyle e^{sT}=z}$  

${\bigg .}X(z)=X^{*}(s){\bigg |}_{\displaystyle s={\frac {\ln(z)}{T}}}$  

Свойства помеченного преобразования

Свойство 1:  $X^{*}(s)$ является периодическим в $s$ с периодом $j{\tfrac {2\pi }{T}}.$

$X^{*}(s+j{\tfrac {2\pi }{T}}k)=X^{*}(s)$

Свойство 2: Если $X(s)$ имеет шест в $s=s_{1}$, затем $X^{*}(s)$ должны иметь столбы на $s=s_{1}+j{\tfrac {2\pi }{T}}k$, где $\scriptstyle k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

Ссылки

• Бек, Майкл М. «Теория цифрового управления» (PDF) . Ольборгский университет . Проверено 5 февраля 2014 г.
• Гопал, М. (март 1989 г.). Цифровая техника управления . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0852263082 .
• Филлипс и Нэгл, «Анализ и проектирование цифровых систем управления», 3-е издание, Prentice Hall, 1995. ISBN   0-13-309832-X