Механизм распределения затрат

Чтобы узнать о других целях, см. Разделение затрат .

В экономике и проектировании механизмов механизм разделения затрат — это процесс, посредством которого несколько агентов принимают решение о объеме общественного продукта или услуги и о том, сколько каждый агент должен за него платить. Распределять затраты легко, когда предельные издержки постоянны: в этом случае каждый агент, которому нужна услуга, просто платит свои предельные издержки. Разделение затрат становится более интересным, когда предельные издержки не являются постоянными. При увеличении предельных издержек агенты налагают отрицательные внешние эффекты друг на друга ; с уменьшением предельных издержек агенты налагают положительные внешние эффекты друг на друга (см. пример ниже ). Цель механизма разделения затрат — разделить эти внешние эффекты между агентами.

Существуют различные механизмы распределения затрат в зависимости от типа продукта/услуги и типа функции затрат.

Делимый продукт, увеличивающий предельные издержки

В этой обстановке несколько агентов используют общую технологию производства. Они должны решить, сколько производить и как делить затраты на производство.Технология имеет возрастающие предельные издержки : чем больше производится, тем труднее становится производить больше единиц продукции (т. е. издержки являются выпуклой функцией спроса).

Пример функции затрат:

• 1 доллар США за единицу за первые 10 единиц;
• 10$ за каждую дополнительную единицу.

Таким образом, если есть три агента, чьи требования равны 3, 6 и 10, то общая стоимость составит 100 долларов.

Определения

Проблема распределения затрат определяется следующими функциями, где i — агент, а Q — количество продукта:

• Спрос( i ) = сумма, которую агент i хочет получить.
• Стоимость( Q ) = стоимость производства Q единиц продукта.

Решение проблемы распределения затрат определяется оплатой ${\text{Pay}}(i)$ для каждого обслуживаемого агента, так что общая сумма оплаты равна общей стоимости:

$\sum _{i}{\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}{\big (}D{\big )}$;

где D – общий спрос:

$D:=\sum _{i}{\text{Demand}}(i)$

Было предложено несколько решений совместного несения расходов.

Среднее участие в расходах

В литературе по себестоимости регулируемой монополии принято считать, что каждый агент должен оплатить свою среднюю стоимость, т.е.:

${\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}(D)\cdot {\text{Demand}}(i)/D$

В приведенном выше примере выплаты составляют 15,8 (по требованию 3), 31,6 (по требованию 6) и 52,6 (по требованию 10).

Этот метод разделения затрат имеет ряд преимуществ:

• На него не влияют манипуляции, при которых два агента открыто объединяют свои требования в одном суперагенте или один агент открыто разделяет свой спрос на двух субагентов. Действительно, это единственный метод, невосприимчивый к подобным манипуляциям.
• На него не влияют манипуляции, при которых два агента тайно передают друг другу затраты и продукцию.
• Каждый агент платит, по крайней мере, свою отдельную стоимость — стоимость, которую он заплатил бы без существования других агентов. Это мера солидарности: ни один агент не должен получать прибыль от негативных внешних эффектов.

Однако у него есть недостаток:

• Агент может заплатить больше, чем его единогласная стоимость — стоимость, которую он заплатил бы, если бы у всех других агентов был такой же спрос.

Это мера справедливости: ни один агент не должен слишком сильно страдать от негативных внешних эффектов. В приведенном выше примере агент со спросом 3 может утверждать, что, если бы все остальные агенты были такими же скромными, как он, не было бы никаких отрицательных внешних эффектов и каждый агент заплатил бы только 1 доллар за единицу, поэтому ему не пришлось бы платить больше, чем это.

Предельное разделение затрат

При распределении предельных издержек оплата каждого агента зависит от его спроса и предельных издержек в текущем состоянии производства:

${\text{Pay}}(i)={\text{Demand}}(i)\cdot {\text{Cost}}'(D)+{1 \over n}{\big (}{\text{Cost}}(D)-D\cdot Cost'(D){\big )}$

В приведенном выше примере платежи равны 0 (за требование 3), 30 (за требование 6) и 70 (за требование 10).

Этот метод гарантирует, что агенты платят не более единогласной стоимости — стоимости, которую он заплатил бы, если бы все остальные агенты имели такой же спрос.

Однако агент может заплатить меньше, чем его самостоятельная стоимость . В приведенном выше примере агент со спросом 3 ничего не платит (в некоторых случаях агент даже может заплатить отрицательную сумму).

Последовательное разделение затрат

Последовательное разделение затрат можно описать как результат следующего процесса.

• В момент времени 0 все агенты входят в комнату.
• Машина начинает производить одну единицу продукции в минуту.
• Произведенная единица и ее стоимость делятся поровну между всеми агентами в комнате.
• Всякий раз, когда агент чувствует, что его требование удовлетворено, он выходит из комнаты.

Итак, если агенты упорядочены в порядке возрастания спроса:

• Агент 1 (с наименьшим спросом) платит:

${Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}$;

• Агент 2 платит:

${Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}$ плюс ${Cost({\text{Demand}}(1)+(n-1){\text{Demand}}(2))-Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n-1}$ ;

и так далее.

Этот метод гарантирует, что каждый агент оплачивает, по крайней мере, свою отдельную стоимость и, самое большее, свою единогласную стоимость .

Однако он не застрахован от разделения или слияния агентов, а также от передачи входных и выходных данных между агентами. Следовательно, это имеет смысл только тогда, когда такие передачи невозможны (например, при использовании кабельного телевидения или телефонной связи).

Бинарный сервис, снижение предельных затрат

В этой обстановке есть бинарный сервис - каждый агент либо обслуживается, либо не обслуживается. Стоимость услуги выше, когда обслуживается больше агентов, но предельные издержки меньше, чем при обслуживании каждого агента индивидуально (т. е. стоимость является субмодульной функцией множества ). В качестве типичного примера рассмотрим двух агентов, Алису и Джорджа, которые живут рядом с источником воды на следующих расстояниях:

• Источник-Алиса: 8 км
• Источник-Джордж: 7 км
• Алиса-Джордж: 2 км

Предположим, что каждый километр водопровода стоит 1000 долларов. У нас есть следующие варианты:

• Никто не подключен; стоимость 0.
• На связи только Джордж; стоимость 7000$.
• На связи только Алиса; стоимость 8000$.
• И Алиса, и Джордж связаны; стоимость $9000, так как труба может идти от Source к Джорджу, а затем к Алисе. Обратите внимание, что это намного дешевле, чем сумма затрат Джорджа и Алисы.

Выбор между этими четырьмя вариантами должен зависеть от оценок агентов – сколько каждый из них готов заплатить за подключение к источнику воды.

Цель состоит в том, чтобы найти правдивый механизм , который побудит агентов раскрыть свою истинную готовность платить.

Определения

Проблема распределения затрат определяется следующими функциями, где i — агент, а S — подмножество агентов:

• Value( i ) = сумма, которую агент i готов заплатить, чтобы воспользоваться услугой.
• Cost( S ) = стоимость обслуживания всех и только агентов в S . Например, в приведенном выше примере Cost({Alice,George})=9000.

Решение проблемы распределения затрат определяется следующим образом:

• Подмножество S агентов, которых необходимо обслужить;
• Оплата ${\text{Pay}}(i)$ за каждого обслуживаемого агента.

Решение может характеризоваться:

• Профицит бюджета решения — это общая сумма платежей за вычетом общих затрат: $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$. Мы хотели бы иметь бюджетный баланс , а это значит, что профицит должен быть ровно 0.
• Социальное благополучие решения — это общая полезность минус общие затраты: $Welfare:=\sum _{i\in S}{\text{Value}}(i)-{\text{Cost}}(S)$. Мы хотели бы иметь эффективность , а это значит, что общественное благосостояние будет максимальным.

Невозможно одновременно достичь правдивости, бюджетной сбалансированности и эффективности; следовательно, существует два класса правдивых механизмов:

Механизмы компенсации – сбалансированы по бюджету, но не эффективны

Механизм распределения затрат со сбалансированным бюджетом может быть определен с помощью функции Payment( i , S ) — платежа, который агент i должен заплатить, когда подмножество обслуживаемых агентов равно S . Эта функция должна удовлетворять следующим двум свойствам:

• бюджет-баланс: общая сумма платежей по любому подмножеству равна общей стоимости обслуживания этого подмножества: $\forall S:\sum _{i\in S}{\text{Payment}}(i,S)={\text{Cost}}(S)$. Таким образом, если обслуживается один агент, он должен оплатить все свои затраты, но если обслуживаются два или более агентов, каждый из них может заплатить меньше, чем его индивидуальная стоимость, из-за субмодульности.
• монотонность популяции: оплата агента слабо увеличивается при сокращении подмножества обслуживаемых агентов: $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$.

Для любой такой функции проблема распределения затрат с субмодульными затратами может быть решена с помощью следующего настройки : процесса

1. Первоначально пусть S — множество всех агентов.
2. Сообщите каждому агенту i , что он должен заплатить Payment( i , S ).
3. не желающий платить свою цену, покидает S. Каждый агент ,
4. Если какой-либо агент покинул S , вернитесь к шагу 2.
5. В противном случае завершите работу и отправьте на сервер агентов, оставшихся S. в

Обратите внимание, что по свойству монотонности населения цена всегда увеличивается, когда люди S. покидают Следовательно, агент никогда не захочет вернуться в S , поэтому механизм правдив (процесс аналогичен английскому аукциону ). Помимо правдивости, механизм имеет следующие достоинства:

• Устойчивость групповой стратегии – ни одна группа агентов не получит выгоды, сообщив неправду.
• Никаких положительных переводов – ни одному агенту не платят деньги за обслуживание.
• Индивидуальная рациональность - ни один агент не теряет ценности от участия (в частности, необслуживаемый агент ничего не платит, а обслуживаемый агент платит максимум своей оценки).
• Суверенитет потребителя - каждый агент может выбрать получение услуги, если его готовность платить достаточно велика.

Более того, любой механизм, удовлетворяющий требованиям бюджетного баланса, отсутствия положительных трансфертов, индивидуальной рациональности, потребительского суверенитета и устойчивости к групповой стратегии, может быть получен таким способом с использованием соответствующей функции платежа.

Механизм может выбрать функцию оплаты для достижения таких целей, как справедливость или эффективность. Когда агенты имеют равные априорные права, некоторыми разумными функциями оплаты являются:

• Значение Шепли , например, для двух агентов платежи при обслуживании обоих агентов составляют: Платеж(Алиса,Оба) = [Стоимость(Оба)+Стоимость(Алиса)-Стоимость(Джордж)]/2, Платеж(Джордж,Оба) ) = [Стоимость(Оба)+Стоимость(Джордж)-Стоимость(Алиса)]/2.
• Эгалитарное решение, например Платеж(Алиса,Оба) = медиана[Стоимость(Алиса), Стоимость(Оба)/2, Стоимость(Оба)-Стоимость(Джордж)], Оплата(Джордж,Оба) = медиана[Стоимость(Джордж), Стоимость(Оба )/2, Стоимость(Оба)-Стоимость(Алиса)].
• Когда агенты имеют разные права (например, некоторые агенты старше других), можно взимать с самого старшего агента только его предельные издержки, например, если Джордж старше, то для каждого подмножества S, которое не содержит Джорджа: Оплата( Джордж,S+Джордж) = Стоимость(S+Джордж) − Стоимость(S). Аналогично, следующий по старшинству агент может оплатить свои предельные оставшиеся издержки и так далее.

Вышеупомянутые механизмы распределения затрат неэффективны – они не всегда выбирают распределение средств с наивысшим социальным благосостоянием. Но когда в качестве функции платежа выбрано значение Шепли, потери благосостояния минимизируются.

Механизмы VCG – эффективны, но не бюджетно сбалансированы

Другой класс механизмов разделения затрат — это механизмы VCG . Механизм VCG всегда выбирает социально оптимальное распределение — распределение, которое максимизирует общую полезность обслуживаемых агентов за вычетом стоимости их обслуживания. Затем каждый агент получает благосостояние других агентов и платит сумму, которая зависит только от оценок других агентов. Более того, все механизмы VCG удовлетворяют свойству потребительского суверенитета.

Существует единственный механизм VCG, который также удовлетворяет требованиям отсутствия положительных трансфертов и индивидуальной рациональности - это механизм ценообразования по предельным издержкам . Это специальный механизм VCG, при котором каждый необслуживаемый агент ничего не платит, а платит каждый обслуживаемый агент:

$Pay(i)=Value(i)-[Welfare(All)-Welfare(All\setminus \{i\})]$

Т.е. каждый агент платит свою стоимость, но получает обратно то благосостояние, которое добавляется его присутствием. Таким образом, интересы агента совпадают с интересами общества (максимизация общественного благосостояния), поэтому механизм правдив.

Проблема этого механизма в том, что он не сбалансирован по бюджету – у него дефицит. Рассмотрим приведенный выше пример с водопроводом и предположим, что Алиса и Джордж оценивают услугу в 10 000 долларов. Когда обслуживается только Алиса, благосостояние составляет 10000-8000=2000; когда подают только Джорджа; благосостояние 10000-7000=3000; когда оба обслуживаются, благосостояние составит 10000+10000-9000=11000. Таким образом, механизм ценообразования по предельной себестоимости выбирает обслуживание обоих агентов. Джордж платит 10000-(11000-2000)=1000, а Алиса платит 10000-(11000-3000)=2000. Общая сумма платежа составляет всего 3000, что меньше общей стоимости в 9000.

Более того, механизм VCG не является защищенным от групповой стратегии: агент может помогать другим агентам, повышая свою оценку, не причиняя вреда себе.

См. также

• Carpool – приложение разделения затрат.
• Значение Шепли – возможное правило распределения затрат.
• Общественное благо
• Расположение объекта (кооперативная игра)
• Разделение излишков