Парадокс Пенлеве
В динамике твердого тела ( парадокс Пенлеве также называемый пароксизмами фрикционными Жан-Жаком Моро ) — это парадокс, возникающий в результате несоответствия между контактной и кулоновской моделями трения . [ 1 ] Он назван в честь бывшего премьер-министра Франции и математика Поля Пенлеве .
Чтобы продемонстрировать парадокс, строится гипотетическая система, анализ которой требует предположения направления силы трения. Используя это предположение, система решается. Однако как только решение получено, окончательное направление движения определяется как противоречащее предполагаемому направлению силы трения, что приводит к парадоксу. [ 1 ]
Этот результат обусловлен рядом разрывов в поведении твердых тел и разрывами, присущими закону трения Кулона, особенно при больших коэффициентах трения. [ 2 ] Однако существуют простые примеры, доказывающие, что парадоксы Пенлеве могут возникать даже при небольшом реалистичном трении.
Пояснения и решения
[ редактировать ]Упрощенные модели трения, применяемые к полностью твердым телам, чрезвычайно полезны для базового понимания физических принципов или при моделировании систем для таких приложений, как анимация, робототехника и биомеханика. Однако они являются лишь приближением к полностью упругой модели, требующей сложных систем уравнений в частных производных .
Было опубликовано несколько разрешений парадокса. Математическое решение было опубликовано в 1990-х годах Дэвидом Э. Стюартом. [ 3 ] В том же десятилетии Франк Жено и Бернар Брольято опубликовали объяснение парадокса с более механической точки зрения, введя GB-точки (или многообразия). [ 4 ]
Жено и Брольято очень подробно изучили динамику стержня в окрестности особой точки фазового пространства, когда стержень скользит. Тогда динамические уравнения представляют собой особое сингулярное обыкновенное дифференциальное уравнение с векторным полем f ( x )/ g ( x ), где как f , так и g могут обращаться в нуль в определенной точке (угол и угловая скорость). Одним из результатов является то, что в этой особой точке контактная сила может неограниченно расти, однако ее импульс всегда остается ограниченным (это может объяснить, почему численные методы с временным шагом, такие как схема Моро, могут хорошо справляться с такими ситуациями, поскольку они оценивают импульс, а не силу [ 5 ] ). Следовательно, бесконечная контактная сила вовсе не является препятствием для интеграции. Другая ситуация (отличная от первой) состоит в том, что траектории могут достичь зоны в фазовом пространстве, где задача линейной дополнительности (ЛКП), задающая контактную силу, не имеет решения. Тогда решение (то есть угловая скорость стержня) должно перейти в область, где LCP имеет решение. Это действительно создает своего рода «воздействие» с разрывом скорости. [ 6 ] После открытия Жено и Брольято Хоган, Чизман и их коллеги провели углубленный анализ парадокса Пенлеве в измерении 3. [ 7 ] Они также представили подробный анализ регуляризованной задачи в пределе. [ 8 ] [ 9 ]
Примечательно, что Ж. Ж. Моро в своей основополагающей статье показал [ 10 ] посредством численного моделирования с его схемой временного шага (впоследствии названной схемой Моро) парадоксы Пенлеве можно смоделировать с помощью подходящих методов временного шага по вышеуказанным причинам, указанным позже Жено и Брольято.
Физические реализации
[ редактировать ]Распространенной демонстрацией парадокса является «подпрыгивание» мела, когда его заставляют скользить по доске. Поскольку парадоксы Пенлеве основаны на механической модели кулоновского трения, где рассчитанная сила трения может иметь несколько значений, когда точка контакта не имеет тангенциальной скорости, это упрощенная модель контакта. Тем не менее, он отражает основные динамические эффекты трения, такие как зоны прилипания и проскальзывания. Помимо этого простого примера были продемонстрированы более сложные реализации парадоксов Пенлеве. [ 11 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Носоновский Михаил. «Кем был Пенлеве и почему его парадоксы так важны для изучения трения» . Университет Висконсина, Милуоки – факультет машиностроения . Проверено 24 марта 2022 г.
- ^ Поль Пенлеве (1895). «О законах трения скольжения». ЧР акад. Наука . 121 : 112–115.
- ^ Стюарт, Дэвид Э. (2000). «Динамика твердого тела с трением и ударом» . Обзор СИАМ . 42 (1): 3–39. Бибкод : 2000SIAMR..42....3S . дои : 10.1137/S0036144599360110 .
- ^ Франк Жено, Бернар Брольято (1999). «Новые результаты по парадоксам Пенлеве» (PDF) . Европейский журнал механики А. 18 (4): 653–678. Бибкод : 1999EJMS...18..653G . дои : 10.1016/S0997-7538(99)00144-8 . S2CID 122553373 .
- ^ Винсент Акари, Бернар Брольято (2008). Численные методы для негладких динамических систем . Конспект лекций по прикладной и вычислительной механике. Том. 65. Гейдельберг: Springer Verlag.
- ^ Брольято, Бернар (2016). Негладкая механика . Техника связи и управления (3-е изд.). Лондон: Springer Verlag.
- ^ Н. Чизман, С.Дж. Хоган, К.У. Кристиансен (2022). «Геометрия парадокса Пенлеве». Журнал SIAM по прикладным динамическим системам . 21 (3): 1798–1831. arXiv : 2110.14324 . дои : 10.1137/21M1455590 . S2CID 250544845 .
- ^ К.У. Кристиансен, С.Дж. Хоган (2018). «Утка де Пенлеве». Журнал SIAM по прикладным динамическим системам . 17 (1): 859–908. arXiv : 1703.07665 . дои : 10.1137/17M1122256 . S2CID 43931784 .
- ^ С. Дж. Хоган, К. У. Кристиансен (2017). «О регуляризации удара без столкновения: парадокс Пенлеве и соответствие» . Труды Королевского общества А. 473 (2202): 20160773.arXiv : 1610.00143 . Бибкод : 2017RSPSA.47360773H . дои : 10.1098/rspa.2016.0773 . ПМЦ 5493941 . ПМИД 28690403 .
- ^ Моро, Дж.Дж. (1988). «Односторонний контакт и сухое трение в динамике конечной свободы». В Моро, Джей-Джей; Панагиотопулос, П. Д. (ред.). Негладкая механика и ее приложения . Международный центр механических наук (курсы и лекции). Том. 302. Вена: Шпрингер.
- ^ Чжэнь, Чжао; Лю, Цайшань; Ма, Вэй; Чен, Бин; и др. (2008). «Экспериментальное исследование парадокса Пенлеве в роботизированной системе». Журнал прикладной механики . 75 (4):041006.Бибкод : 2008JAM ....75d1006Z . CiteSeerX 10.1.1.1027.4938 . дои : 10.1115/1.2910825 . S2CID 13052877 .