Полугруппа фактора Риса

В математике , в теории полугрупп , фактор-полугруппа Риса (также называемая фактор-полугруппой Риса или просто фактором Риса ), названная в честь Дэвида Риса , — это некоторая полугруппа, построенная с использованием полугруппы и идеала полугруппы .

Пусть S — полугруппа , а I — идеал S . Используя S и I, можно построить новую полугруппу, сжимая I в один элемент, в то время как элементы S вне I сохраняют свою идентичность. Новая полугруппа, полученная таким образом, называется фактор-полугруппой Рисса S по модулю I и обозначается S / I .

Понятие факторной полугруппы Риса было введено Дэвидом Рисом в 1940 году.

Формальное определение

Подмножество ​ $I$ полугруппы $S$ называется идеалом ​ $S$ если оба $SI$ и $IS$ являются подмножествами $I$ (где $SI=\{sx\mid s\in S{\text{ and }}x\in I\}$, и аналогично для $IS$). Позволять $I$ быть идеалом полугруппы $S$. Отношение $\rho$ в $S$ определяется

x ρ y ⇔ либо x = y , либо оба x и y находятся в I

является отношением эквивалентности в $S$. Классы эквивалентности под $\rho$ это одноэлементные наборы $\{x\}$ с $x$ не в $I$ и набор $I$. С $I$ является идеалом $S$, отношение $\rho$ является соответствием ​ $S$. Факторполугруппа ​ $S/{\rho }$ по определению является фактор-полугруппой Риса группы $S$ модуль $I$. Для удобства обозначений полугруппа $S/\rho$ также обозначается как $S/I$. Фактор Рисаполугруппа имеет базовый набор $(S\setminus I)\cup \{0\}$, где $0$ — новый элемент и продукт (здесь обозначается $*$) определяется

$s*t={\begin{cases}st&{\text{if }}s,t,st\in S\setminus I\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Конгруэнтность $\rho$ на $S$ как определено выше, называется сравнением Риса на $S$ модуль $I$.

Пример

Рассмотрим полугруппу S = { a , b , c , d , e } с бинарной операцией, определенной следующей таблицей Кэли:

·	а	б	с	д	и
а	а	а	а	д	д
б	а	б	с	д	д
с	а	с	б	д	д
д	д	д	д	а	а
и	д	и	и	а	а

Пусть I = { a , d который является подмножеством S. } , С

SI знак равно { аа , ба , ca , da , ea , объявление , bd , cd , dd , ed } = { a , d } ⊆ I

IS знак равно { аа , да , ab , db , ac , dc , объявление , dd , ае , де } = { а , d } ⊆ я

множество I является идеалом S . Полугруппа факторов Риса S по модулю I - это набор S / I = { b , c , e , I } с бинарной операцией, определенной следующей таблицей Кэли:

·	б	с	и	я
б	б	с	я	я
с	с	б	я	я
и	и	и	я	я
я	я	я	я	я

Идеальное расширение

Полугруппа S называется идеальным расширением полугруппы A с помощью полугруппы B, A — идеал группы S и фактор-полугруппа Рисса S / A изоморфна B. если

Некоторые из случаев, которые были широко изучены, включают: идеальные расширения вполне простых полугрупп , группы вполне 0 -простой полугруппой , коммутативной полугруппы с сокращением группой с добавленным нулем. В общем, проблема описания всех идеальных расширений полугруппы остается открытой.

Ссылки

• Лоусон, М.В. (1998). Инверсные полугруппы: теория частичных симметрий . Всемирная научная. ISBN  978-981-02-3316-7 .

Эта статья включает в себя материалы фактора Риса на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .