Уравнение Стритера – Фелпса

Уравнение Стритера-Фелпса используется при изучении загрязнения воды в качестве инструмента моделирования качества воды . Модель описывает, как растворенный кислород (РК) уменьшается в реке или ручье на определенном расстоянии за счет снижения биохимической потребности в кислороде (БПК). Уравнение было выведено Х. У. Стритером, санитарным инженером, и Эрлом Б. Фелпсом , консультантом Службы общественного здравоохранения США , в 1925 году на основе полевых данных по реке Огайо . Уравнение также известно как уравнение провисания DO.

Уравнение Стритера – Фелпса

Уравнение Стритера-Фелпса определяет связь между концентрацией растворенного кислорода и биологической потребностью в кислороде с течением времени и является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка. ^{[ 1 ]}

{\frac {\partial D}{\partial t}}=k_{1}L_{t}-k_{2}D

Это дифференциальное уравнение утверждает, что общее изменение дефицита кислорода (D) равно разнице между двумя скоростями дезоксигенации и реаэрации в любой момент времени.

Уравнение Стритера-Фелпса, предполагающее, что поток поршневого потока в установившемся состоянии будет тогда

D={\frac {k_{1}L_{a}}{k_{2}-k_{1}}}(e^{-k_{1}t}-e^{-k_{2}t})+D_{a}e^{-k_{2}t}

где

$D$ - дефицит насыщения, который можно получить из концентрации растворенного кислорода при насыщении минус фактическая концентрация растворенного кислорода ( $D=DO_{sat}-DO$ ). $D$ имеет размеры ${\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}$ .
$k_{1}$ - скорость дезоксигенации , обычно в $d^{-1}$ .
$k_{2}$ - скорость реаэрации, обычно в $d^{-1}$ .
$L_{a}$ — это начальная потребность органических веществ в воде в кислороде, также называемая предельным БПК (БПК в момент времени t=бесконечность). Единица $L_{a}$ является ${\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}$ .
$L_{t}$ - потребность в кислороде, оставшаяся в момент времени t, $L_{t}=L_{a}e^{-k_{1}t}$ .
$D_{a}$ это начальный дефицит кислорода $[{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]$ .
$t$ это прошедшее время, обычно $[d]$ .

$k_{1}$ обычно лежит в пределах 0,05-0,5 $d^{-1}$ и $k_{2}$ обычно лежит в пределах 0,4-1,5 $d^{-1}$ . ^{[ 2 ]}
Уравнение Стритера-Фелпса также известно как уравнение прогиба DO. Это связано с формой графика изменения ДО во времени.

Кривые биологической потребности в кислороде (БПК) и растворенного кислорода (РК) в реке, текущей вправо, достигающей равновесия после непрерывного поступления притока с высоким БПК в реку при x = 15 м и t = 0 с.

Критический дефицит кислорода

На кривой падения растворенного кислорода минимальная концентрация возникает в некоторой точке вдоль потока. Если уравнение Стритера-Фелпса дифференцировать по времени и приравнять к нулю, время, в которое происходит минимальный DO, выражается выражением

t_{crit}={\frac {1}{k_{2}-k_{1}}}\ln {\left[{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\left({1-{\frac {D_{a}(k_{2}-k_{1})}{L_{a}k_{1}}}}\right)\right]}

Чтобы найти величину критического дефицита кислорода, $D_{crit}$ , уравнение Стритера – Фелпса объединяется с приведенным выше уравнением для критического времени $t_{crit}$ . Тогда минимальная концентрация растворенного кислорода равна

DO_{crit}=DO_{sat}-D_{crit}

Математически можно получить отрицательное значение $DO_{crit}$ , хотя на самом деле невозможно иметь отрицательное количество DO. ^{[ 3 ]}

Расстояние, пройденное по реке от данной точки, источника загрязнения или сброса отходов вниз по течению до реки. $DO_{crit}$ (что является минимальным DO) находится по формуле

x_{crit}=vt_{crit}

где $v$ - скорость течения потока. Эта формула является хорошим приближением, если поток можно рассматривать как поршневой (турбулентный).

Оценка скорости реаэрации

Существует несколько оценок скорости реаэрации, которые обычно следуют уравнению

k_{2}=Kv^{a}H^{-b}

где

$K$ является константой.
$v$ — скорость потока [м/с].
$H$ — глубина [м].
$a$ является константой.
$b$ является константой.

Константы зависят от системы, к которой применяется уравнение, т.е. скорости потока и размера ручья или реки. В литературе встречаются разные значения.

Программное обеспечение « Международная гидрологическая программа » применяет следующее уравнение, полученное на основе значений, используемых в опубликованной литературе. ^{[ 4 ]}

k_{2}=2.148v^{0.878}H^{-1.48}

где

$k_{2}$ $[d^{-1}]$ .
$v$ — средняя скорость потока [м/с].
$H$ — средняя глубина течения реки [м].

Температурная коррекция

Как скорость дезоксигенации, так и $k_{1}$ и скорость реаэрации, $k_{2}$ можно скорректировать по температуре, следуя общей формуле. ^{[ 2 ]}

k=k_{20}\theta ^{(T-20)}

где

$k_{20}$ это норма при 20 градусах Цельсия.
θ — константа, которая различается для двух скоростей.
$T$ — фактическая температура в потоке в градусах Цельсия.

Обычно θ имеет значение 1,048 для $k_{1}$ и 1,024 для $k_{2}$ . Повышение температуры оказывает наибольшее влияние на скорость деоксигенации и приводит к увеличению критического дефицита ( $D_{crit}$ ), и $x_{crit}$ уменьшается. Кроме того, снижение $DO_{sat}$ концентрация происходит с повышением температуры, что приводит к уменьшению концентрации DO. ^{[ 2 ]}

Смешение рек

Когда два ручья или реки сливаются или вода сбрасывается в ручей, можно определить БПК и РК после смешивания, предполагая установившиеся условия и мгновенное смешивание. Два потока считаются разбавлением друг друга, поэтому начальные значения БПК и растворенного кислорода будут равны. ^{[ 4 ]}

L_{a}={\frac {L_{s}Q_{s}+L_{b}Q_{b}}{Q_{s}+Q_{b}}}

и

DO_{0}={\frac {DO_{s}Q_{s}+DO_{b}Q_{b}}{Q_{s}+Q_{b}}}

где

$L_{a}$ — начальная концентрация БПК в реке после места смешивания, также называемая БПК(0). Единица $L_{a}$ является ${\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}$ .
$L_{b}$ – фоновый БПК концентрации в реке $[{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]$ .
$L_{s}$ – БПК содержимого сливающейся реки $[{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]$ .
$DO_{0}$ — начальная концентрация растворенного кислорода в реке ниже места слияния. $[{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]$ .
$DO_{b}$ – фоновая концентрация содержания растворенного кислорода в реке $[{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]$ .
$DO_{s}$ – фоновая концентрация содержания растворенного кислорода в сливающейся реке $[{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]$ .
$Q_{b}$ — расход реки вверх по течению от места смешения $[{\tfrac {m^{3}}{s}}]$ .
$Q_{s}$ — расход сливающейся реки вверх по течению от точки смешения $[{\tfrac {m^{3}}{s}}]$ .

Численный подход

В настоящее время классическое уравнение Стритера-Фелпса можно решить численно с помощью компьютеров. Дифференциальные уравнения решаются путем интегрирования.

История

опубликовали исследование явлений окисления и реаэрации в реке Огайо В 1925 году санинженер Гарольд Уорнер Стритер и консультант Эрл Бернард Фелпс (1876–1953) в США. Исследование было основано на данных, полученных с мая 1914 года по апрель 1915 года Службой общественного здравоохранения США под руководством Сурга. WH Мороз. ^{[ 1 ]}

Более сложные версии модели Стритера-Фелпса были представлены в 1960-х годах, когда компьютеры позволили учесть дальнейший вклад в выделение кислорода в потоках. Во главе этого развития стояли О'Коннор (1960) и Томанн (1963). ^{[ 5 ]} О'Коннор добавил вклад фотосинтеза, дыхания и потребности отложений в кислороде (СОД). ^{[ 6 ]} Томанн расширил модель Стритера-Фелпса, включив в нее многосегментные системы. ^{[ 7 ]}

Приложения и ограничения

Простая модель Стритера-Фелпса основана на предположении, что один входной поток БПК распределяется равномерно в поперечном сечении ручья или реки и что он движется как пробковый поток без смешивания в реке. ^{[ 8 ]} Более того, в классической модели Стритера-Фелпса рассматривается только один поглотитель РК (углеродистый БПК) и один источник РК (реаэрация). ^{[ 9 ]} Эти упрощения приведут к ошибкам в модели. Например, модель не включает удаление БПК путем седиментации, что взвешенный БПК преобразуется в растворенное состояние, что осадкам требуется кислород и что фотосинтез и дыхание будут влиять на кислородный баланс. ^{[ 8 ]}

Расширенная модель

Помимо окисления органического вещества и процесса реаэрации, в потоке происходит множество других процессов, влияющих на РК. ^{[ 8 ]} Чтобы создать более точную модель, можно включить эти факторы, используя расширенную модель.

Расширенная модель является модификацией традиционной модели и включает внутренние источники (реаэрацию и фотосинтез) и стоки (БПК, фоновый БПК, СОД и дыхание) РК. Не всегда необходимо включать все эти параметры. Вместо этого соответствующие источники и поглотители можно суммировать, чтобы получить общее решение для конкретной модели. ^{[ 2 ]} Параметры расширенной модели могут быть измерены в полевых условиях или оценены теоретически.

Фон БПК

Фоновый БПК или потребность бентоса в кислороде является диффузным источником БПК, представленным разложением органического вещества, которое уже осело на дно. Это приведет к постоянному диффузному притоку, поэтому изменение БПК с течением времени будет

{\frac {dL}{dt}}=-k_{1}L+L_{b}

где

$k_{1}$ — скорость потребления кислорода БПК, обычно в $d^{-1}$ .
$L$ БПК органических веществ в воде $[{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]$ .
$L_{b}$ это фоновый вход BOD $[{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]$ .

Седиментация БПК

Осажденный БПК не потребляет кислород напрямую, и поэтому это следует учитывать. Это делается путем введения скорости удаления БПК в сочетании со скоростью потребления кислорода БПК. Определение общей скорости удаления кислорода по БПК. ^{[ 2 ]}

k_{r}=k_{1}+k_{3}

где

$k_{1}$ — скорость потребления кислорода БПК, обычно в $d^{-1}$ .
$k_{3}$ - скорость оседания БПК, обычно в $d^{-1}$ .

Изменение БПК с течением времени описывается как

{\frac {dL}{dt}}=-k_{r}L

где $L$ БПК органических веществ в воде $[{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]$ .

$k_{r}$ обычно находится в диапазоне 0,5-5 $d^{-1}$ . ^{[ 2 ]}

Потребность осадков в кислороде

Кислород может потребляться организмами, живущими в отложениях. Этот процесс называется потребностью осадков в кислороде (СОД). Измерение СОД можно провести путем измерения изменения содержания кислорода в контейнере с отложениями (бентический респирометр).

Изменение дефицита кислорода за счет его потребления осадками описывается как

{\frac {dD}{dt}}=-k_{2}D+{\frac {S}{H}}

где

$H$ глубина реки [м]
$S$ это СОД $[{\tfrac {g}{m^{2}d}}]$
D - дефицит насыщения $[{\tfrac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} ^{3}}}]$ .
$k_{2}$ — скорость реаэрации [ $d^{-1}$ ].

Диапазон СОД обычно находится в пределах 0,1 – 1. ${\tfrac {g}{m^{2}d}}$ для естественной реки с низким уровнем загрязнения и 5 – 10 ${\tfrac {g}{m^{2}d}}$ для реки с умеренным и сильным загрязнением. ^{[ 2 ]}

Нитрификация

Аммоний окисляется до нитрата в аэробных условиях.

НХ ₄⁺ + _2O2 → _NO3⁻ + Н ₂ О + 2Н ⁺

Окисление аммония можно рассматривать как часть БПК, так что БПК = CBOD + NBOD, где CBOD — это углеродсодержащая биохимическая потребность в кислороде , а NBOD — азотистый БПК. Обычно CBOD намного превышает концентрацию аммония, и поэтому NBOD часто не нужно учитывать. Изменение дефицита кислорода вследствие окисления аммония описывается как

{\frac {dD}{dt}}=k_{N}N-k_{2}D

где

D – дефицит насыщения.
$k_{N}$ это скорость нитрификации $[d^{-1}]$ .
$N$ – концентрация аммонийного азота.

Диапазон $k_{N}$ обычно составляет 0,05-0,5 $d^{-1}$ . ^{[ 2 ]}

Фотосинтез и дыхание

Фотосинтез и дыхание осуществляют водоросли и макрофиты. Дыхание также осуществляется бактериями и животными. Предполагая устойчивое состояние (среднедневное чистое значение), изменение дефицита будет

{\frac {dD}{dt}}=-k_{2}D+(R+P)_{avg}

где

$R$ это дыхание $[{\tfrac {mg}{Ld}}]$ .
$P$ это фотосинтез $[{\tfrac {mg}{Ld}}]$ .

Обратите внимание, что БПК включает дыхание только микроорганизмов, например, водорослей и бактерий, а не макрофитов и животных.

Из-за изменения освещения во времени изменение фотосинтетического кислорода можно описать периодической функцией во времени, где время находится после восхода солнца и перед заходом солнца. ^{[ 2 ]}

P(t)=P_{max}sin\left({\frac {\pi }{f}}+(t-t_{s})\right)

где

$P(t)$ фотосинтез в данный момент времени $[{\tfrac {mg}{Ld}}]$ .
$P_{max}$ это суточный максимум фотосинтеза $[{\tfrac {mg}{Ld}}]$ .
$f$ это часть дня с солнечным светом, обычно ${\tfrac {1}{2}}$ день.
$t_{s}$ это время восхода солнца $[d]$ .

Диапазон среднесуточной стоимости первичной продукции $(P-R)$ обычно составляет 0,5-10 ${\tfrac {mg}{Ld}}$ . ^{[ 2 ]}

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Стритер Х.В., Фелпс Э.Б., 1925 г., Исследование загрязнения и естественной очистки реки Огайо. III. Факторы, связанные с явлениями окисления и реаэрации, Бюллетень общественного здравоохранения №. 146, перепечатано Министерством здравоохранения, образования и социального обеспечения США, Службой общественного здравоохранения, 1958 г., ISBN B001BP4GZI, http://dspace.udel.edu:8080/dspace/bitstream/handle/19716/1590/C%26EE148.pdf? последовательность=2
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Шнур Дж., 1996, Моделирование окружающей среды, судьба и перенос загрязнителей в воде, воздухе и почве, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-12436-8
^ Готовцев А.В., 2010, Модификация системы Стритера-Фелпса с целью учета обратной связи между концентрацией растворенного кислорода и скоростью окисления органических веществ, ISSN 0097-8078, Водные ресурсы, Vol. 37, № 2, стр. 245–251. Плеяды Паблишинг, ООО
^ Перейти обратно: ^а ^б Йоланкай Г., 1997, Базовые модели качества речной воды, Программа компьютерного обучения (CAL) по моделированию качества воды (WQMCAL версия 1.1), Международная гидрологическая программа, Технические документы по гидрологии, № 13
^ Рассел К.С., Вон В.Дж., Кларк К.Д., Родригес Д.Д., Дарлинг А.Х., 2001, Инвестиции в качество воды: измерение выгод, затрат и рисков, Межамериканский банк развития, Вашингтон, округ Колумбия
^ Лунг WS, 2001, Моделирование качества воды для распределения отходов и TMDL, John Wiley & Sons, Inc.
^ Вурбс Р.А., 1994, Компьютерные модели для планирования и управления водными ресурсами, Техасский университет A&M.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Лин С.Д., Ли CC (2001). Руководство по расчетам воды и сточных вод . МакГроу Хилл Профессионал. стр. 13–. ISBN 978-0-07-137195-7 .
^ Шнур Дж., 1986, Моделирование окружающей среды, судьба и перенос загрязнителей в воде, воздухе и почве, Wiley-Interscience

Внешние ссылки

О'Коннор DJ, 1960, Кислородный баланс устья , Журнал отдела санитарной техники, ASCE, Vol. 86, № СА3, Учеб. Документ 2472, май 1960 г.
Шнор Дж. (1996). Экологическое моделирование, судьба и перенос загрязнителей в воде, воздухе и почве . Уайли-Интерсайенс. ISBN 978-0-471-12436-8 .
Томанн Р.В., 1963, Математическая модель растворенного кислорода , Журнал отдела санитарной техники, Американское общество инженеров-строителей, том 89, № SA5.

[Streeter_1925-1] Перейти обратно: ^а ^б Стритер Х.В., Фелпс Э.Б., 1925 г., Исследование загрязнения и естественной очистки реки Огайо. III. Факторы, связанные с явлениями окисления и реаэрации, Бюллетень общественного здравоохранения №. 146, перепечатано Министерством здравоохранения, образования и социального обеспечения США, Службой общественного здравоохранения, 1958 г., ISBN B001BP4GZI, http://dspace.udel.edu:8080/dspace/bitstream/handle/19716/1590/C%26EE148.pdf? последовательность=2

[Schnoor1996-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Шнур Дж., 1996, Моделирование окружающей среды, судьба и перенос загрязнителей в воде, воздухе и почве, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-12436-8

[3] Готовцев А.В., 2010, Модификация системы Стритера-Фелпса с целью учета обратной связи между концентрацией растворенного кислорода и скоростью окисления органических веществ, ISSN 0097-8078, Водные ресурсы, Vol. 37, № 2, стр. 245–251. Плеяды Паблишинг, ООО

[Jol1997-4] Перейти обратно: ^а ^б Йоланкай Г., 1997, Базовые модели качества речной воды, Программа компьютерного обучения (CAL) по моделированию качества воды (WQMCAL версия 1.1), Международная гидрологическая программа, Технические документы по гидрологии, № 13

[5] Рассел К.С., Вон В.Дж., Кларк К.Д., Родригес Д.Д., Дарлинг А.Х., 2001, Инвестиции в качество воды: измерение выгод, затрат и рисков, Межамериканский банк развития, Вашингтон, округ Колумбия

[6] Лунг WS, 2001, Моделирование качества воды для распределения отходов и TMDL, John Wiley & Sons, Inc.

[7] Вурбс Р.А., 1994, Компьютерные модели для планирования и управления водными ресурсами, Техасский университет A&M.

[Lin2001-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с Лин С.Д., Ли CC (2001). Руководство по расчетам воды и сточных вод . МакГроу Хилл Профессионал. стр. 13–. ISBN 978-0-07-137195-7 .

[Schnoor1986-9] Шнур Дж., 1986, Моделирование окружающей среды, судьба и перенос загрязнителей в воде, воздухе и почве, Wiley-Interscience

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]