Ли - Кортер Модель

Модель Lee -Carter - это числовой алгоритм, используемый при прогнозировании смертности и продолжительности жизни прогнозировании . Вклад в модель представляет собой матрицу возрастных показателей смертности, упорядоченного монотонно по времени, обычно с возрастами в столбцах и годах в рядах. Выход представляет собой прогнозируемую матрицу скорости смертности в том же формате, что и вход.

Модель использует декомпозицию в единственном значении (SVD), чтобы найти:

• Вектор одномерного временных рядов $\mathbf {k} _{t}$ Это захватывает 80–90% тенденции к смертности (здесь подпись $t$ относится к времени),
• Вектор $\mathbf {b} _{x}$ Это описывает относительную смертность в каждом возрасте (здесь подпись $x$ относится к возрасту), и
• Постоянная масштабирования (упоминается здесь как $s_{1}$ но безымянный в литературе).

$\mathbf {k} _{t}$ обычно является линейным, подразумевая, что прибыль к жизни является довольно постоянным годом за годом в большинстве популяций. До вычисления SVD уровень смертности, специфичный для возраста, сначала превращаются в $\mathbf {A} _{x,t}$, принимая их логарифмы , а затем сосредоточив их, вычитая их возрастные средства со временем. Среднее среднее значение со временем обозначается $\mathbf {a} _{x}$Полем Подписк $x,t$ относится к тому факту, что $\mathbf {A} _{x,t}$ охватывает как возраст, так и время.

Многие исследователи корректируют $\mathbf {k} _{t}$ вектор, подписав его к эмпирической продолжительности жизни за каждый год, используя $\mathbf {a} _{x}$ и $\mathbf {b} _{x}$ генерируется с SVD. При корректировке с использованием этого подхода изменения на $\mathbf {k} _{t}$ обычно маленькие.

Чтобы прогнозировать смертность, $\mathbf {k} _{t}$ (либо скорректирован, либо нет) прогнозируется в $n$ future years using an ARIMA model. The corresponding forecasted $\mathbf {A} _{x,t+n}$ is recovered by multiplying $\mathbf {k} _{t+n}$ by $\mathbf {b} _{x}$ and the first diagonal element of S (when $\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})$) Фактические показатели смертности восстанавливаются за счет экспоненциальных векторов.

Because of the linearity of $\mathbf {k} _{t}$, it is generally modeled as a random walk with trend. Life expectancy and other life table measures can be calculated from this forecasted matrix after adding back the means and taking exponentials to yield regular mortality rates.

In most implementations, confidence intervals for the forecasts are generated by simulating multiple mortality forecasts using Monte Carlo Methods. A band of mortality between 5% and 95% percentiles of the simulated results is considered to be a valid forecast. These simulations are done by extending $\mathbf {k} _{t}$ into the future using randomization based on the standard error of $\mathbf {k} _{t}$ derived from the input data.

Algorithm

The algorithm seeks to find the least squares solution to the equation:

$\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}=\mathbf {a} _{x}+\mathbf {k} _{t}\mathbf {b} _{x}+\epsilon _{x,t}$

where $\mathbf {m} _{x,t}$ is a matrix of mortality rate for each age $x$ in each year $t$.

1. Compute $\mathbf {a} _{x}$ which is the average over time of $\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}$ for each age:

   $\mathbf {a} _{x}={\frac {\sum _{t=1}^{T}{\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}}}{T}}$

2. Compute $\mathbf {A} _{x,t}$ which will be used in SVD:

   $\mathbf {A} _{x,t}=\ln {(\mathbf {m} _{x,t})}-\mathbf {a} _{x}$

3. Compute the singular value decomposition of $\mathbf {A} _{x,t}$:

   $\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})$

4. Derive $\mathbf {b} _{x}$, $s_{1}$ (the scaling eigenvalue), and $\mathbf {k} _{t}$ from $\mathbf {U}$, $\mathbf {S}$, and $\mathbf {V^{*}}$:

   $\mathbf {b} _{x}=(u_{1,1},u_{2,1},...,u_{x,1})$

   $\mathbf {k} _{t}=(v_{1,1},v_{1,2},...,v_{1,t})$

5. Forecast $\mathbf {k} _{t}$ using a standard univariate ARIMA model to $n$ additional years:

   $\mathbf {k} _{t+n}={\text{ARIMA}}(\mathbf {k} _{t},n)$

6. Use the forecasted $\mathbf {k} _{t+n}$, with the original $\mathbf {b} _{x}$, and $\mathbf {a} _{x}$ to calculate the forecasted mortality rate for each age:

   $\mathbf {m} _{x,t+n}=\exp(\mathbf {a} _{x}+s_{1}\mathbf {k} _{t+n}\mathbf {b} _{x})$

Discussion

Without applying SVD or some other method of dimension reduction the table of mortality data is a highly correlated multivariate data series, and the complexity of these multidimensional time series makes them difficult to forecast. SVD has become widely used as a method of dimension reduction in many different fields, including by Google in their page rank algorithm.

The Lee–Carter model was introduced by Ronald D. Lee and Lawrence Carter in 1992 with the article "Modeling and Forecasting U.S. Mortality". The model grew out of their work in the late 1980s and early 1990s attempting to use inverse projection to infer rates in historical demography. The model has been used by the United States Social Security Administration, the US Census Bureau, and the United Nations. It has become the most widely used mortality forecasting technique in the world today.

There have been extensions to the Lee–Carter model, most notably to account for missing years, correlated male and female populations, and large scale coherency in populations that share a mortality regime (western Europe, for example). Many related papers can be found on Professor Ronald Lee's website.

Implementations

There are few software packages for forecasting with the Lee–Carter model.

• LCFIT is a web-based package with interactive forms.
• Professor Rob J. Hyndman provides an R package for demography that includes routines for creating and forecasting a Lee–Carter model.
• Альтернативы в R включают в себя пакет Stmomo Villegas, Millossovich и Kaishev (2015).
• Профессор Немецкий Родригес предоставляет код для модели Lee -Carter с использованием Stata .
• Используя Matlab , профессор Эрик Джондо и профессор Майкл Рокерар собрали набор инструментов долговечности для оценки параметров.