Кривая интенсивности-длительности-частоты

Кривая интенсивность -продолжительность-частота ( кривая IDF ) — это математическая функция, которая связывает интенсивность явления (например, дождя ) с его продолжительностью и частотой возникновения. Частота обратна вероятности возникновения. Эти кривые обычно используются в гидрологии для прогнозирования наводнений и в гражданском строительстве для проектирования городской дренажной системы . Однако кривые IDF также анализируются в гидрометеорологии интереса к временной концентрации или временной структуре осадков из- за . но также возможно определить кривые IDF для случаев засухи. Кроме того, применение кривых IDF для проектирования с учетом рисков появляется за пределами гидрометеорологии, например, некоторые авторы разработали кривые IDF для шоков притока продуктов питания в города США.

Математические подходы

Кривые IDF могут принимать различные математические выражения, теоретические или эмпирически соответствующие данным наблюдаемых событий. Для каждой продолжительности (например, 5, 10, 60, 120, 180... минут) эмпирическая кумулятивная функция распределения (ECDF) и определенная частота или период повторяемости устанавливается . Следовательно, эмпирическая кривая IDF представляет собой объединение точек равной частоты возникновения и различной продолжительности и интенсивности. Аналогичным образом, теоретическая или полуэмпирическая кривая IDF — это кривая, математическое выражение которой физически обосновано, но представляет параметры, которые необходимо оценить путем эмпирической подгонки.

Эмпирические подходы

Существует большое количество эмпирических подходов, которые связывают интенсивность ( I ), продолжительность ( t ) и период возврата ( p ) от припадков со степенными законами, такими как:

• формула Шермана, с тремя параметрами ( a , c и n ), которые являются функцией периода возврата, p :

$I(t)={\frac {a}{(t+c)^{n}}}$

• формула Чоу, также с тремя параметрами ( a , c и n ) для определенного периода возврата p :

$I(t)={\frac {a}{t^{n}+c}}$

• Степенной закон согласно Апарисио (1997), с четырьмя параметрами ( a , c , m и n ), уже скорректированными для всех интересующих периодов доходности:

$I(t,p)=a\cdot {\frac {p^{m}}{(t+c)^{n}}}$

В гидрометеорологии простой степенной закон (приняв $\ c=0$) используется как мера временной структуры осадков:

$I(t)={\frac {a}{t^{n}}}=I_{o}\left({\frac {t_{o}}{t}}\right)^{n}$

где $\ I_{o}$ определяется как интенсивность отсчета в течение фиксированного времени $\ t_{o}$, то есть $\ a=I_{o}t_{o}^{n}$, и $\ n$ — это безразмерный параметр, известный как n -index . В случае дождя эквивалент кривой IDF называется максимальной средней интенсивности (MAI). кривой

Теоретические подходы

Чтобы получить кривые IDF из распределения вероятностей , $\ F(x)$ необходимо математически выделить общий объём или глубину события $\ x$, что напрямую связано со средней интенсивностью $\ I$ и продолжительность $\ t$, по уравнению $\ x=It$, и поскольку период возврата $p$ определяется как инверсия $\ 1-F(x)$, функция $\ f(p)$ находится как обратное $\ F(x)$, в соответствии с:

$It=f(p)\quad \Leftarrow \quad p={\frac {1}{1-F(It)}}$

• Степенной закон с периодом возврата, полученным из распределения Парето , для фиксированной продолжительности $\ t$:

$\ I(p)=kp^{m}\quad \Leftarrow \quad F(It)=1-\left({\frac {kt}{It}}\right)^{1/m}=1-{\frac {1}{p}}$

где константа распределения Парето была переопределена как $\ k'=kt$, поскольку это допустимое распределение для определенной продолжительности события, оно было принято как $\ x=It$.

• Функция, полученная из обобщенного распределения Парето , для заданной продолжительности $\ t$:

$I(p)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{m}}\cdot (p^{m}-1)\quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\left(1+{\frac {m(I-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/m}=1-{\frac {1}{p}}&{\text{if }}m>0,\\\quad \mu +\sigma \ln(p)\quad \quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)=1-{\frac {1}{p}}&{\text{if }}m=0.\end{cases}}$

Обратите внимание, что для $\ m>0$ и $\ \mu ={\frac {\sigma }{m}}$, обобщенное распределение Парето возвращает простую форму распределения Парето с $\ k'={\frac {\sigma }{m}}$. Однако с $\ m=0$ . экспоненциальное распределение получено

• Функция, выведенная из распределения Гамбеля и противоположного распределения Гамбеля для заданной продолжительности $\ t$:

$I(p)=\mu +\sigma \ln \left(\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right)\quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}$

$I(p)=\mu +\sigma \ln(\ln p)\quad \quad \quad \quad \quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=1-\exp \left(-\exp \left({\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}$