Преобразование Хмаладзе

В статистике представляет преобразование Хмаладзе собой математический инструмент, используемый для построения удобных критериев согласия для гипотетических функций распределения . Точнее, предположим $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — это iid , возможно, многомерные случайные наблюдения, генерируемые из неизвестного распределения вероятностей . Классическая проблема статистики состоит в том, чтобы решить, насколько хорошо данная гипотетическая функция распределения $F$, или заданное гипотетическое параметрическое семейство функций распределения $\{F_{\theta }:\theta \in \Theta \}$, соответствует набору наблюдений. Преобразование Хмаладзе позволяет нам построить критерии согласия с желаемыми свойствами. Названо в честь имения В. Хмаладзе .

Рассмотрим последовательность эмпирических функций распределения $F_{n}$ на основе последовательности iid случайных величин, $X_{1},\ldots ,X_{n}$, по мере увеличения n . Предполагать $F$ — гипотетическая функция распределения каждого $X_{i}$. Чтобы проверить, сделан ли выбор $F$ верно или нет, статистики используют нормализованную разницу,

$v_{n}(x)={\sqrt {n}}[F_{n}(x)-F(x)].$

Этот $v_{n}$, как случайный процесс в $x$, называется эмпирическим процессом . Различные функционалы ​ $v_{n}$ используются в качестве тестовой статистики. Изменение переменной $v_{n}(x)=u_{n}(t)$, $t=F(x)$ переходит в так называемый равномерный эмпирический процесс $u_{n}$. Последний представляет собой эмпирический процесс, основанный на независимых случайных величинах. $U_{i}=F(X_{i})$, которые равномерно распределены по $[0,1]$ если $X_{i}$действительно имеют функцию распределения $F$.

Этот факт был открыт и впервые использован Колмогоровым (1933), Вальдом и Вулфовицем (1936) и Смирновым (1937) и, особенно после Дуба (1949) и Андерсона и Дарлинга (1952), это привело к стандартному правилу выбора тестовой статистики на основе $v_{n}$. То есть статистика тестов $\psi (v_{n},F)$ определены (которые, возможно, зависят от $F$ тестируется) таким образом, что существует другая статистика $\varphi (u_{n})$ выведено из единого эмпирического процесса, так что $\psi (v_{n},F)=\varphi (u_{n})$. Примеры:

$\sup _{x}|v_{n}(x)|=\sup _{t}|u_{n}(t)|,\quad \sup _{x}{\frac {|v_{n}(x)|}{a(F(x))}}=\sup _{t}{\frac {|u_{n}(t)|}{a(t)}}$

и

$\int _{-\infty }^{\infty }v_{n}^{2}(x)\,dF(x)=\int _{0}^{1}u_{n}^{2}(t)\,dt.$

Для всех таких функционалов их нулевое распределение (при гипотетическом $F$) не зависит от $F$и может быть вычислен один раз, а затем использован для проверки любого $F$.

Однако лишь в редких случаях возникает необходимость проверить простую гипотезу, когда фиксированная $F$ как гипотеза дана. Гораздо чаще приходится проверять параметрические гипотезы, в которых гипотетическая $F=F_{\theta _{n}}$, зависит от некоторых параметров $\theta _{n}$, которые не указаны в гипотезе и которые необходимо оценить по выборке $X_{1},\ldots ,X_{n}$ сам.

Хотя оценщики ${\hat {\theta }}_{n}$, чаще всего сходятся к истинному значению $\theta$, было обнаружено, что параметрическое, или предполагаемый эмпирический процесс

${\hat {v}}_{n}(x)={\sqrt {n}}[F_{n}(x)-F_{{\hat {\theta }}_{n}}(x)]$

существенно отличается от $v_{n}$ и что преобразованный процесс ${\hat {u}}_{n}(t)={\hat {v}}_{n}(x)$, $t=F_{{\hat {\theta }}_{n}}(x)$ имеет распределение, для которого предельное распределение, как $n\to \infty$, зависит от параметрической формы $F_{\theta }$ и на конкретной оценке ${\hat {\theta }}_{n}$ и вообще в пределах одного параметрического семейства от значения $\theta$.

С середины 1950-х до конца 1980-х годов была проделана большая работа по выяснению ситуации и пониманию природы процесса. ${\hat {v}}_{n}$.

В 1981 году а затем 1987 и 1993 годы, Хмаладзе предложил заменить параметрический эмпирический процесс ${\hat {v}}_{n}$ по его мартингальной части $w_{n}$ только.

${\hat {v}}_{n}(x)-K_{n}(x)=w_{n}(x)$

где $K_{n}(x)$ является компенсатором ${\hat {v}}_{n}(x)$. Тогда следующие свойства $w_{n}$ были установлены:

• Хотя форма $K_{n}$, и, следовательно, из $w_{n}$, зависит от $F_{{\hat {\theta }}_{n}}(x)$, как функция обоих $x$ и $\theta _{n}$, предельное распределение преобразованного во времени процесса

$\omega _{n}(t)=w_{n}(x),t=F_{{\hat {\theta }}_{n}}(x)$

это стандартное броуновское движение на $[0,1]$, т.е. снова стандартно и не зависит от выбора $F_{{\hat {\theta }}_{n}}$.

• Отношения между ${\hat {v}}_{n}$ и $w_{n}$ и между их пределами один к одному, так что статистический вывод, основанный на ${\hat {v}}_{n}$ или на $w_{n}$ эквивалентны, и в $w_{n}$, ничего не потеряно по сравнению с ${\hat {v}}_{n}$.
• Построение инновационного мартингейла $w_{n}$ можно перенести на случай векторных чисел $X_{1},\ldots ,X_{n}$, что дало начало определению так называемых сканирующих мартингалов в $\mathbb {R} ^{d}$.

Долгое время трансформация хоть и была известна, но до сих пор не использовалась. Позже работы таких исследователей, как Кенкер , Штуте , Бай , Коул , Кенинг и других, сделали его популярным в эконометрике и других областях статистики.

См. также

• Эмпирический процесс

Дальнейшее чтение

• Коул, HL; Суордсон, Э. (2011). «Трансформация Хмаладзе». Международная энциклопедия статистических наук . Спрингер. стр. 715–718. дои : 10.1007/978-3-642-04898-2_325 . ISBN  978-3-642-04897-5 .