БОГИ

DIIS ( прямая инверсия в итеративном подпространстве или прямая инверсия итеративного подпространства ), также известный как смешивание Пуле , представляет собой метод экстраполяции решения на набор линейных уравнений путем прямой минимизации остатка ошибки (например, Ньютона-Рафсона) размера шага . ) относительно линейной комбинации известных выборочных векторов. DIIS был разработан Питером Пулеем в области вычислительной квантовой химии с целью ускорить и стабилизировать сходимость метода Хартри – Фока . самосогласованного поля ^[1]^[2]^[3]

На данной итерации подход создает линейную комбинацию приблизительных векторов ошибок из предыдущих итераций. Коэффициенты линейной комбинации определяются таким образом, чтобы наилучшим образом аппроксимировать, по методу наименьших квадратов , нулевой вектор . Вновь определенные коэффициенты затем используются для экстраполяции функциональной переменной для следующей итерации.

Подробности

приблизительный вектор ошибки $e i$ , соответствующий значению переменной $. pi$ На каждой итерации определяется линейная комбинация $m$ После достаточного количества итераций строится предыдущих векторов ошибок.

\mathbf {e} _{m+1}=\sum _{i=1}^{m}\ c_{i}\mathbf {e} _{i}.

Метод DIIS стремится минимизировать норму $em при условии , +1$ что сумма коэффициентов равна единице. Причину, по которой сумма коэффициентов должна равняться единице, можно увидеть, если мы запишем пробный вектор как сумму точного решения ( $p ж$ ) и вектор ошибки. В приближении DIIS получаем:

{\begin{aligned}\mathbf {p} &=\sum _{i}c_{i}\left(\mathbf {p} ^{\text{f}}+\mathbf {e} _{i}\right)\\&=\mathbf {p} ^{\text{f}}\sum _{i}c_{i}+\sum _{i}c_{i}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}

Мы минимизируем второе слагаемое, хотя ясно, что суммарные коэффициенты должны быть равны единице, если мы хотим найти точное решение.Минимизация осуществляется с помощью метода множителя Лагранжа . Вводя неопределенный множитель $λ$ , лагранжиан строится как

{\begin{aligned}L&=\left\|\mathbf {e} _{m+1}\right\|^{2}-2\lambda \left(\sum _{i}\ c_{i}-1\right),\\&=\sum _{ij}c_{j}B_{ji}c_{i}-2\lambda \left(\sum _{i}\ c_{i}-1\right),{\text{ where }}B_{ij}=\langle \mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{i}\rangle .\end{aligned}}

Приравнивание нулю производных $L$ по коэффициентам и множителю приводит к системе $(m + 1)$ линейных уравнений , которые необходимо решить относительно $m$ коэффициентов (и множителя Лагранжа).

{\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&B_{13}&...&B_{1m}&-1\\B_{21}&B_{22}&B_{23}&...&B_{2m}&-1\\B_{31}&B_{32}&B_{33}&...&B_{3m}&-1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{m1}&B_{m2}&B_{m3}&...&B_{mm}&-1\\1&1&1&...&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\\vdots \\c_{m}\\\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\0\\1\end{bmatrix}}

Перемещение знака минус к $λ$ приводит к эквивалентной симметричной задаче.

{\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&B_{13}&...&B_{1m}&1\\B_{21}&B_{22}&B_{23}&...&B_{2m}&1\\B_{31}&B_{32}&B_{33}&...&B_{3m}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{m1}&B_{m2}&B_{m3}&...&B_{mm}&1\\1&1&1&...&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\\vdots \\c_{m}\\-\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\0\\1\end{bmatrix}}

Затем коэффициенты используются для обновления переменной как

\mathbf {p} _{m+1}=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\mathbf {p} _{i}.

Цитаты

^ Пулай, Петер (1980). «Ускорение сходимости итерационных последовательностей. Случай итерации SCF». Письма по химической физике . 73 (2): 393–398. Бибкод : 1980CPL....73..393P . дои : 10.1016/0009-2614(80)80396-4 .
^ Пулай, Петер (1982). «Улучшенное ускорение конвергенции SCF». Журнал вычислительной химии . 3 (4): 556–560. дои : 10.1002/jcc.540030413 . S2CID 120876883 .
^ Шепард, Рон; Минкофф, Майкл (2010). «Некоторые комментарии к методу ДИИС». Молекулярная физика . 105 (19–22): 2839–2848. Бибкод : 2007МолФ.105.2839С . дои : 10.1080/00268970701691611 . S2CID 94014926 .

Ссылки

Гарса, Алехандро Дж.; Скусерия, Густаво Э. (2012). «Сравнение методов ускорения сходимости самосогласованного поля» (PDF) . Журнал химической физики . 173 (5): 054110. Бибкод : 2012JChPh.137e4110G . дои : 10.1063/1.4740249 . hdl : 1911/94152 . ПМИД 22894335 .
Роведдер, Торстен; Шнайдер, Рейнхольд (2011). «Анализ метода ускорения DIIS, используемого в квантово-химических расчетах». Журнал математической химии . 49 (9): 1889. CiteSeerX 10.1.1.461.1285 . дои : 10.1007/s10910-011-9863-y . S2CID 51759476 .

См. также

ГРМЭС

Внешние ссылки

Математика DIS

[1] Пулай, Петер (1980). «Ускорение сходимости итерационных последовательностей. Случай итерации SCF». Письма по химической физике . 73 (2): 393–398. Бибкод : 1980CPL....73..393P . дои : 10.1016/0009-2614(80)80396-4 .

[2] Пулай, Петер (1982). «Улучшенное ускорение конвергенции SCF». Журнал вычислительной химии . 3 (4): 556–560. дои : 10.1002/jcc.540030413 . S2CID 120876883 .

[3] Шепард, Рон; Минкофф, Майкл (2010). «Некоторые комментарии к методу ДИИС». Молекулярная физика . 105 (19–22): 2839–2848. Бибкод : 2007МолФ.105.2839С . дои : 10.1080/00268970701691611 . S2CID 94014926 .

[1]

[2]

[3]