Общая концепция решетки

Рис. 1 : Три разные решетки формальных понятий (FCL), полученные из трех формальных контекстов, описывающих одну и ту же 3BS , где шары окрашены в три разных цвета.

Решетка общих понятий ( GCL ) предлагает новую общую конструкцию иерархии понятий на основе формального контекста, в которой обычная решетка формальных понятий, основанная на анализе формальных понятий (FCA), служит только подструктурой.

Формальный контекст представляет собой таблицу данных гетерогенных отношений , иллюстрирующую, как объекты несут атрибуты. По аналогии с таблицей истинностных значений каждый формальный контекст может развивать свою полностью расширенную версию, включающую все столбцы, соответствующие атрибутам, построенным с помощью булевых операций из заданного набора атрибутов. GCL формальном контексте , основан на расширенном который охватывает все информационное содержание формального контекста в том смысле, что он включает в себя все, что формальный контекст должен последовательно подразумевать. Примечательно, что разные формальные контексты могут порождать один и тот же расширенный формальный контекст.

Фон

ГКЛ ​ утверждает, что принимает во внимание расширенный формальный контекст для сохранения информационного содержания. Рассмотрим описание системы трех шаров (3BS) трех разных цветов ( $a:=$красный, $b:=$зеленый, $c:=$синий). Согласно Таблице 1 , можно ссылаться на разные наборы атрибутов, скажем, ${\textstyle M=\{a,b,c\}}$, ${\textstyle M_{1}=\{a\ {\bf {or}}\ b,b\ {\bf {or}}\ c,c\ {\bf {or}}\ a\}}$ или ${\textstyle M_{2}=\{a\ {\bf {or}}\ b,b\ {\bf {or}}\ c,c\}}$ для достижения различных формальных контекстов. Иерархия понятий 3BS должна быть уникальной независимо от того, как описывается 3BS. Однако FCA демонстрирует различные решетки формальных понятий в зависимости от выбранных формальных контекстов для 3BS, см. рис. 1 . Напротив, GCL представляет собой инвариантную решетчатую структуру по отношению к этим формальным контекстам, поскольку они могут выводить друг друга и в конечном итоге иметь одинаковое информационное содержание.

Таблица 1: Расширенная версия формального контекста, описывающего 3BS . От $F_{1}(G,M_{1})$ можно также вывести $F_{\scriptscriptstyle 3BS}(G,M)$, тем самым выводя полную $F_{\scriptscriptstyle 3BS}^{\ast }(G,M^{\ast })$. Обратите внимание, что ${\textstyle a\neg b\neg c=(a+b)\neg (b+c)(c+a)}$, ${\textstyle \neg ab\neg c=(a+b)(b+c)\neg (c+a)}$, ${\textstyle \neg a\neg bc=\neg (a+b)(b+c)(c+a)}$. скрывать

	$F_{\scriptscriptstyle 3BS}(G,M)$			$F_{1}(G,M_{1})$			$\quad 250{\mbox{ more columns }}$
$M^{\ast }$ $G$	$a$	$b$	$c$	$a+b$	$b+c$	$c+a$	$\neg a+b$	$\neg c$	$\ldots$	${\quad }$	$\ldots$
1	$\times$			$\times$		$\times$		$\times$
2		$\times$		$\times$	$\times$		$\times$	$\times$
3			$\times$		$\times$	$\times$	$\times$

В информатике анализ формальных концепций (FCA) обещает практическое применение в различных областях на основе следующих фундаментальных характеристик.

• Он упорядочивает формальные понятия в иерархии, т.е. в решетке формальных понятий (FCL), которую можно визуализировать в виде линейной диаграммы, которая может быть полезна для понимания данных.

• Это позволяет исследовать атрибуты, метод приобретения знаний, основанный на импликациях. Можно приобрести канонический (Гиг-Дюкенн) ) основе, неизбыточный набор информативных импликаций, на основе которых действительные импликации, доступные из формального контекста, могут быть получены с помощью правил Армстронга .

FCL, по-видимому, не является единственной решеткой, применимой для интерпретации таблицы данных. альтернативные решетки понятий, учитывающие различные операторы вывода, основанные на понятиях, относящихся к грубому анализу множеств . Также были предложены В частности, объектно-ориентированная решетка понятий, которая называется грубой решеткой множеств (RSL) впоследствии оказывается особенно поучительным для дополнения стандартного FCA для дальнейшего понимания формального контекста.

• FCL демонстрирует категоризацию классов объектов в соответствии с их общими свойствами , тогда как RSL соответствует тем свойствам, которыми не обладают другие классы .

• RSL предоставляет альтернативную схему последствий, доступных из формального контекста, которые выходят за рамки FCL, как будет разъяснено позже.

Следовательно, необходимо учитывать два важных момента.

Рис. 2 : Три различных грубых решетки, ср. Рис. 1, полученный из тех же трех формальных контекстов, описывающих 3BS .

• FCL и RSL отражают разные иерархии понятий, интерпретируя один и тот же формальный контекст взаимодополняющим образом. Однако, как и в случае с FCL, RSL также страдает от различных структур решетки, варьирующихся в зависимости от выбранного формального контекста, см. рис. 2 .

• Отношения импликации, извлеченные с помощью RSL из формального контекста, означают другую часть логического содержания, чем те, которые можно извлечь с помощью FCL. Лечение через РГБ потребует дальнейших усилий по созданию основы Гига-Дюкенна для РГБ. Более того, неоправданно, что выводы этих двух вместе имеют полное логическое содержание.

GCL . обеспечивает прочную теоретическую основу для концептуальных иерархий, полученных из формального контекста Сохраняя общность, сохраняющую информацию, GCL лежит в основе FCL и RSL, которые соответствуют подструктурам с определенными ограничениями. Технически, GCL будет сведен к FCL и RSL, если ограничиться соединениями и разъединениями элементов в указанном наборе атрибутов ( $M$), соответственно. Кроме того, GCL предоставляет дополнительную информацию, дополняющую результаты FCL и RSL. Удивительно, но реализация формального контекста через GCL гораздо более управляема, чем через FCL и RSL.

Связанные математические формулировки

Алгебры операторов вывода

Операторы деривации составляют строительные блоки концептуальных решеток и поэтому заслуживают особых обозначений. С учетом формального контекста, касающегося набора объектов. $G$ и набор атрибутов $M$,

$I\ :\ {\begin{array}{l}X\subseteq G\mapsto \ X^{I}=\lbrace m\in M\mid gRm,\ \forall g\in X\rbrace \subseteq M\\Y\subseteq M\mapsto \ Y^{I}=\lbrace g\in G\mid gRm,\ \forall m\in Y\rbrace \subseteq G\end{array}},$

$\Box \ :\ {\begin{array}{l}X\subseteq G\mapsto \ X^{\Box }=\lbrace m\in M\mid \forall g\in G,gRm\implies g\in X\rbrace \subseteq M\\Y\subseteq M\mapsto \ Y^{\Box }=\lbrace g\in G\mid \forall m\in M,gRm\implies m\in Y\rbrace \subseteq G\end{array}},$

${\textstyle \Diamond \ :\ {\begin{array}{c}X\subseteq G\mapsto \ X^{\Diamond }=\lbrace m\in M\mid \exists g\in G,(gRm,\ g\in X)\rbrace \subseteq M\\Y\subseteq M\mapsto \ Y^{\Diamond }=\lbrace g\in G\mid \exists m\in M,(gRm,\ m\in Y)\rbrace \subseteq G\end{array}}}$

рассматриваются как разные модальные операторы (Достаточность, Необходимость и Возможность соответственно), обобщающие FCA. Для обозначений $I$, оператор, принятый в стандарте FCA, следует за Бернхардом Гантером и Р. Вилле ; $\Box {\mbox{ and }}\Diamond$ а также $R$ следует за YY Яо. К $gRm$, то есть, $(g,m)\in R$ объект $g$ несет атрибут ${\textstyle m}$ как его собственность, которую также называют $g\in m^{R}$ где $m^{R}$ представляет собой набор всех объектов, несущих атрибут ${\textstyle m}$.

С $X,X_{1},X_{2}\subseteq G{\mbox{ and }}X^{c}:=G\backslash X$ это несложно проверить

$X^{III}=X^{I},\quad {\begin{array}{c}X^{\Box \Diamond \Box }=X^{\Box }\\X^{\Diamond \Box \Diamond }=X^{\Diamond }\end{array}},\quad {\begin{array}{c}X^{c\Box c}=X^{\Diamond }\\X^{c\Diamond c}=X^{\Box }\end{array}},$ $X_{1}\subseteq X_{2}\iff (X_{2})^{I}\subseteq (X_{1})^{I},\quad {\begin{array}{c}X_{1}\subseteq X_{2}\iff (X_{1})^{\Box }\subseteq (X_{2})^{\Box }\\X_{1}\subseteq X_{2}\iff (X_{1})^{\Diamond }\subseteq (X_{2})^{\Diamond }\end{array}},$

где имеют место те же самые соотношения, если они заданы в терминах $Y,Y_{1},Y_{2}\subseteq M{\mbox{ and }}Y^{c}:=M\backslash Y$.

Две решетки Галуа

Связи Галуа

Из перечисленных выше алгебр существуют различные типы связностей Галуа , например,

(1) $X\subseteq Y^{I}$ $\iff Y\subseteq X^{I}$, (2) $Y^{\Diamond }\subseteq X$ $\iff Y\subseteq X^{\Box }$

и (3) $X\subseteq Y^{\Box }$ $\iff X^{\Diamond }\subseteq Y$ что соответствует (2) при замене $X{\mbox{ for }}X^{c}$и $Y{\mbox{ for }}Y^{c}$. Обратите внимание, что (1) и (2) допускают различные объектно-ориентированные конструкции для иерархий понятий FCL и RSL соответственно. Заметим, что (3) соответствует атрибутно-ориентированной конструкции где роли объекта и атрибута в RSL меняются. FCL и RSL применяются к разным 2-кортежам. $(X,Y)$ коллекции понятий, которые демонстрируют различные четко определенные частичные упорядочения.

Две концептуальные иерархии

Учитывая концепцию, 2-кортеж $(X,Y)$ в целом состоит из степени $X\subseteq G$ и намерение $Y\subseteq M$, которые следует различать применительно к FCL и RSL. Концепция $(X,Y)_{fcl}$ предоставлен $X^{I}=Y{\mbox{ and }}Y^{I}=X$ на основе (1) в то время как $(X,Y)_{rsl}$ предоставлен $X^{\Box }=Y{\mbox{ and }}Y^{\Diamond }=X$ на основании (2). По сути, существуют две решетки Галуа, основанные на разном упорядочении двух наборов понятий следующим образом.

$(X_{1},Y_{1})_{fcl}\leq (X_{2},Y_{2})_{fcl}$ entails ${\textstyle X_{1}\subseteq X_{2}}$ and ${\textstyle Y_{2}\subseteq Y_{1}}$
since $X_{1}\subseteq X_{2}$ iff $Y_{2}=X_{2}^{I}\subseteq X_{1}^{I}=Y_{1}$, and $Y_{2}\subseteq Y_{1}$ iff $X_{1}=Y_{1}^{I}\subseteq Y_{2}^{I}=X_{2}$.

$(X_{1},Y_{1})_{rsl}\leq (X_{2},Y_{2})_{rsl}$ entails ${\textstyle X_{1}\subseteq X_{2}}$ and ${\textstyle Y_{1}\subseteq Y_{2}}$
since $X_{1}\subseteq X_{2}$ iff $Y_{1}=X_{1}^{\Box }\subseteq X_{2}^{\Box }=Y_{2}$, and $Y_{1}\subseteq Y_{2}$ iff $X_{1}=Y_{1}^{\Diamond }\subseteq Y_{2}^{\Diamond }=X_{2}$.

Общие пределы FCL и RSL

Каждый атрибут, указанный в формальном контексте, обеспечивает экстент для FCL и RSL одновременно через набор объектов, содержащий атрибут . Хотя размеры FCL и RSL не полностью совпадают, все $m^{R}$ для ${\textstyle m\in M}$ известно, что это общая степень FCL и RSL. Это следует из основных результатов FCL ( Анализ формальных понятий #Основная теорема анализа формальных понятий ) и RSL: каждый $Y^{I}$ ( $Y\subseteq M$) — это экстент для FCL и $Y^{\Diamond }$это экстент для RSL. Обратите внимание, что выбирая ${\textstyle Y=\{m\}}$ дает начало ${\textstyle Y^{I}=Y^{\Diamond }=m^{R}}$.

Два типа информационных последствий

Рассмотрение импликации атрибута set-to-set ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ ( $A,B\subseteq M$) через FCL имеет интуитивно понятную интерпретацию: каждый объект, обладающий всеми признаками $A$ обладает всеми качествами, присущими $B$, другими словами $A^{I}\subseteq B^{I}$. В качестве альтернативы можно рассмотреть ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ на основе RSL аналогичным образом: совокупность всех объектов, несущих любой из атрибутов в $A$ содержится в наборе всех объектов, несущих любой из атрибутов в $B$, другими словами $A^{\Diamond }\subseteq B^{\Diamond }$. Очевидно, что ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ и ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ связывают разные пары наборов атрибутов и не способны выражать друг друга.

Расширение формального контекста

Для каждого формального контекста можно получить его расширенную версию, выведенную в смысле заполнения таблицы истинностных значений. Полезно явно обозначать зависимость объекта/атрибута для формального контекста. сказать, $F(G,M):=(G,M,I)$ скорее, чем $\mathbb {K} :=(G,M,I)$ поскольку, возможно, придется исследовать более одного формального контекста. Как показано в Таблице 1 , $F_{\scriptscriptstyle 3BS}(G,M)$ можно использовать для вывода расширенной версии $F_{\scriptscriptstyle 3BS}^{\ast }(G,M^{\ast })$, где ${\textstyle M^{\ast }}$ это набор всех атрибутов, построенных из элементов в ${\textstyle M}$ с помощью булевых операций. Обратите внимание, что $F_{\scriptscriptstyle 3BS}(G,M)$ включает три колонки, отражающие использование ${\textstyle M=\{a,b,c\}}$ и $F_{1}(G,M_{1})$ набор атрибутов ${\textstyle M_{1}=\{a\ {\bf {or}}\ b,b\ {\bf {or}}\ c,c\ {\bf {or}}\ a\}}$.

Получение общей решетки понятий

Наблюдения, основанные на математических фактах

Намерения с точки зрения отдельных атрибутов

FCL и RSL не будут изменены, если их намерения интерпретируются как отдельные атрибуты.

$(X,Y)_{fcl}$ can be understood as $(X,\mu )_{fcl}$ with ${\textstyle \mu =\prod Y}$ (the conjunction of all elements in $Y$),$\ {\begin{smallmatrix}\prod X^{I}=\mu \\\mu ^{R}=X\end{smallmatrix}}$ plays the role of ${\begin{smallmatrix}X^{I}=Y\\Y^{I}=X\end{smallmatrix}}$ since ${\textstyle Y^{I}=(\prod Y)^{R}=\mu ^{R}\subseteq G}$.

$(X,Y)_{rsl}$ can be understood as $(X,\mu )_{rsl}$ with ${\textstyle \mu =\sum Y}$ (the disjunction of all elements in $Y$),$\ {\begin{smallmatrix}\sum X^{\Box }=\mu \\\mu ^{R}=X\end{smallmatrix}}$ plays the role of ${\begin{smallmatrix}X^{\Box }=Y\\Y^{\Diamond }=X\end{smallmatrix}}$ since ${\textstyle Y^{\Diamond }=(\sum Y)^{R}=\mu ^{R}\subseteq G}$.

Здесь скалярное произведение ${\textstyle \cdot \ (\prod )}$ обозначает соединение (точки часто опускаются для компактности) и суммирование ${\textstyle +\ (\sum )}$ дизъюнкция, представляющая собой обозначения в стиле Карри-Говарда . Обратите внимание, что порядок становится

$(X_{1},\mu _{1})_{fcl}\leq (X_{2},\mu _{2})_{fcl}$ and $(X_{1},\mu _{1})_{rsl}\leq (X_{2},\mu _{2})_{rsl}$, both are implemented by ${\textstyle X_{1}\subseteq X_{2}}$${\textstyle \iff }$${\textstyle \mu _{1}\leq \mu _{2}}$.

Последствия от одного атрибута к одному атрибуту

Что касается выводов, извлеченных из формального контекста ,

 $\mu _{1}\rightarrow \mu _{2}$ serves as the general form of implication relations available from the formal context, which holds for any pair of ${\textstyle \mu _{1},\mu _{2}\in M^{\ast }}$ fulfilling $\mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}$.

Обратите внимание, что $\mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}$ оказывается тривиальным, если $\mu _{1}\leq \mu _{2}$, что влечет за собой $\mu _{1}=\mu _{1}\cdot \mu _{2}$. Интуитивно, каждый предмет, несущий $\mu _{1}$ это объект, несущий $\mu _{2}$, что означает, что любой объект, имеющий свойство y $\mu _{1}$ также должно быть имущество $\mu _{2}$. В частности,

${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ can be interpreted as $\mu _{1}\rightarrow \mu _{2}$ with ${\textstyle \mu _{1}=\prod A}$ and ${\textstyle \mu _{2}=\prod B}$,
${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ can be interpreted as $\mu _{1}\rightarrow \mu _{2}$ with ${\textstyle \mu _{1}=\sum A}$ and ${\textstyle \mu _{2}=\sum B}$,

где $A^{I}\subseteq B^{I}$ и $A^{\Diamond }\subseteq B^{\Diamond }$ рухнуть в $\mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}$.

Решетка трехкортежных понятий с двойной связностью Галуа

При расширении до ${\textstyle F^{\ast }(G,M^{\ast })}$алгебры операторов дифференцирования остаются формально неизменными, за исключением обобщения из ${\textstyle m\in M}$ к ${\textstyle \mu \in M^{\ast }}$ что обозначается с точки зрения замены ​ $I{\mbox{ by }}I^{\ast }$, $\Box {\mbox{ by }}\Box ^{\ast }$ и $\Diamond {\mbox{ by }}\Diamond ^{\ast }$. Тогда рассматриваемые понятия становятся ${\textstyle (X,Y)_{fcl}^{\ast }}$ и ${\textstyle (X,Y)_{rsl}^{\ast }}$, где $X\subseteq G$ и $Y\subseteq M^{\ast }$, которые являются конструкциями, допускаемыми двумя связностями Галуа , т.е. $X\subseteq Y^{I^{\ast }}\iff Y\subseteq X^{I^{\ast }}$ и ${\textstyle Y^{\Diamond ^{\ast }}\subseteq X\iff Y\subseteq X^{\Box ^{\ast }}}$, соответственно. Впредь,

${\textstyle X^{I^{\ast }}=Y}$ and ${\textstyle Y^{I^{\ast }}=X}$ for ${\textstyle (X,Y)_{fcl}^{\ast }}$, ${\textstyle X^{\Box ^{\ast }}=Y}$ and ${\textstyle Y^{\Diamond ^{\ast }}=X}$ for ${\textstyle (X,Y)_{rsl}^{\ast }}$.

Объемы этих двух концепций теперь точно совпадают . Все атрибуты в ${\textstyle M^{\ast }}$ перечислены в формальном контексте ${\textstyle F^{\ast }(G,M^{\ast })}$, каждый из них вносит общий вклад в FCL и RSL. Более того, совокупность этих общих экстентов ${\textstyle E_{F}:=\{\mu ^{R}\mid \mu \in M^{\ast }\}}$ составляет ${\textstyle \{\bigcup _{k\in J}D_{k}\mid J\subseteq \{1\ldots n_{F}\}\}}$ который исчерпывает все возможные объединения минимальных наборов объектов, различимых формальным контекстом . Обратите внимание, что каждый $D_{k}$ собирает объекты одного и того же свойства , см. Таблицу 2 . Тогда можно присоединиться ${\textstyle (X,Y)_{fcl}^{\ast }}$ и ${\textstyle (X,Y)_{rsl}^{\ast }}$ на тройку с общей протяженностью:

 ${\textstyle (X,Y^{fcl\ast },Y^{rsl\ast })}$ where ${\textstyle X^{I^{\ast }}=Y^{fcl\ast }}$, ${\textstyle X^{\Box ^{\ast }}={Y^{rsl\ast }}}$ and ${\textstyle {Y^{fcl\ast }}^{I^{\ast }}={Y^{rsl\ast }}^{\Diamond ^{\ast }}=X}$.

Обратите внимание, что ${\textstyle Y^{fcl\ast }{\mbox{ and }}Y^{rsl\ast }}$вводятся для того, чтобы разграничить два намерения. Очевидно, что число этих троек равно мощности множества общей протяженности, которое считается ${\textstyle |E_{F}|=2^{n_{F}}}$. Более того, ${\textstyle (X,Y^{fcl\ast },Y^{rsl\ast })}$ демонстрирует четко выраженную упорядоченность. Для ${\textstyle X_{1},X_{2}\in E_{F}\subseteq G\ }$, где ${\textstyle {Y_{1}^{fcl\ast }},{Y_{2}^{fcl\ast }}\subset M^{\ast }}$и ${\textstyle {Y_{1}^{rsl\ast }},{Y_{2}^{rsl\ast }}\subset M^{\ast }}$,

${\textstyle (X_{1},{Y_{1}^{fcl\ast }},{Y_{1}^{rsl\ast }})\leq (X_{2},{Y_{2}^{fcl\ast }},{Y_{2}^{rsl\ast }})}$ iff ${\textstyle X_{1}\subseteq X_{2}}$ and ${\textstyle {Y_{2}^{fcl\ast }}\subseteq {Y_{1}^{fcl\ast }}}$ and ${\textstyle {Y_{1}^{rsl\ast }}\subseteq {Y_{2}^{rsl\ast }}}$.

Появление GCL

Хотя в принципе невозможно определить ${\textstyle Y^{fcl\ast }{\mbox{ and }}Y^{rsl\ast }}$ при условии ${\textstyle X\in E_{F}\subseteq G}$, структура иерархии понятий не обязательно напрямую зависит от этих намерений. Эффективный способ реализовать концепцию иерархии для ${\textstyle (X,Y^{fcl\ast },Y^{rsl\ast })}$ заключается в рассмотрении намерений с точки зрения отдельных атрибутов.

Пусть впредь ${\textstyle \eta (X):=\prod Y^{fcl\ast }}$ и ${\textstyle \rho (X):=\sum Y^{rsl\ast }}$. После введения ${\textstyle [X]_{F}:=\{\mu \in M^{\ast }\mid \mu ^{R}=X\}}$, это можно проверить ${\textstyle \prod [X]_{F}=\prod Y^{fcl\ast }}$ и ${\textstyle \sum [X]_{F}=\sum Y^{rsl\ast }}$, ${\textstyle \forall X\in E_{F}}$. Поэтому,

${\textstyle [X]_{F}\equiv [\eta (X),\rho (X)]=\{\mu \in M^{\ast }\mid \eta (X)\leq \mu \leq \rho (X)\}}$, 

который представляет собой замкнутый интервал , ограниченный снизу ${\textstyle \eta (X)}$ и сверху по ${\textstyle \rho (X)}$ с $\forall \mu \ \mu ^{R}=X\implies \eta (X)\leq \mu \leq \rho (X)$. Более того,

${\textstyle \forall X_{1}\forall X_{2}\in E_{F}\ X_{1}\neq X_{2}}$ iff ${\textstyle [X_{1}]_{F}\cap [X_{2}]_{F}=\emptyset }$, ${\textstyle X_{1}\subset X_{2}}$ iff ${\textstyle \eta (X_{1})<\eta (X_{2})}$ iff ${\textstyle \rho (X_{1})<\rho (X_{2})}$.

Кроме того, ${\textstyle \bigcup _{X\in E_{F}}[X]_{F}=M^{\ast }}$, а именно сбор намерений ${\textstyle [X]_{F}}$ исчерпывает все обобщенные признаки ${\textstyle M^{\ast }}$, по сравнению с ${\textstyle \bigcup _{X\in E_{F}}X=G}$. Затем GCL входит в решетчатую структуру. ${\textstyle \Gamma _{F}:=(L_{F},\wedge ,\vee )}$ на основе формального контекста через ${\textstyle F^{\ast }(G,M^{\ast })}$:

• Сборник всех общих понятий ${\textstyle L_{F}=\{(X,[X]_{F})\mid \ X\in E_{F}\}}$ представляет собой частично упорядоченный набор ${\textstyle (L_{F},\leq )}$ заказал как

${\textstyle l_{1}:=(X_{1},[X_{1}]_{F})\leq l_{2}:=(X_{2},[X_{2}]_{F})}$ iff ${\textstyle X_{1}\subseteq X_{2}}$ and ${\textstyle \eta (X_{1})\leq \eta (X_{2})}$ and ${\textstyle \rho (X_{2})\leq \rho (X_{2})}$.

• Оба $\wedge$ (встретиться) и $\vee$ Операции (объединения) применимы для поиска дальнейших точек решетки:

$l_{1}\wedge l_{2}=\left(X_{1}\cap X_{2},[X_{1}\cap X_{2}]_{F}\right)\in L_{F}$, where ${\textstyle [X_{1}\cap X_{2}]_{F}=[\eta (X_{1}\cap X_{2}),\rho (X_{1}\cap X_{2})]=[\eta (X_{1})\cdot \eta (X_{2}),\rho (X_{1})\cdot \rho (X_{2})],}$

${\textstyle l_{1}\vee l_{2}=\left(X_{1}\cup X_{2},[X_{1}\cup X_{2}]_{F}\right)\in L_{F}}$, where${\textstyle [X_{1}\cup X_{2}]_{F}=[\eta (X_{1}\cup X_{2}),\rho (X_{1}\cup X_{2})]=[\eta (X_{1})+\eta (X_{2}),\rho (X_{1})+\rho (X_{2})].}$

• GCL представляется полной решеткой, поскольку оба ${\textstyle l_{sup}}$ и ${\textstyle l_{inf}}$ можно найти в ${\textstyle L_{F}}$:

${\textstyle l_{sup}=\bigvee _{l\in L_{F}}l=(G,[G]_{F})=(G,[\eta (G),{\bf {1}}])}$, ${\textstyle l_{inf}=\bigwedge _{l\in L_{F}}l=(\emptyset ,[\emptyset ]_{F})=(\emptyset ,[{\bf {0}},\rho (\emptyset )])}$.

Следствие общей решетки понятий

Управляемая общая решетка

Известно, что конструкция FCL опиралась на эффективные алгоритмы, не говоря уже о строительстве РГБ, которому пока не уделялось особого внимания. Любопытно, что хотя GCL предоставляет общую структуру, на основе которой можно заново обнаружить как FCL, так и RSL, GCL можно получить путем простого считывания .

Чтение решетки

Завершение GCL эквивалентно завершению намерений GCL с точки зрения нижних и границ.

• Нижние границы ${\textstyle (\eta (X){\mbox{ for }}X\in E_{F})}$ можно использовать для определения верхних границ ${\textstyle (\rho (X){\mbox{ for }}X\in E_{F})}$, и наоборот. Для конкретности оба ${\textstyle X}$ и ${\textstyle X^{c}}$ являются экстентами GCL, ${\textstyle (X,[X]_{F})=(X,[\eta (X),\rho (X)])}$ сосуществует с ${\textstyle (X^{c},[X^{c}]_{F})}$${\textstyle =(X^{c},[\eta (X^{c}),\rho (X^{c})])}$. Впоследствии ${\textstyle \eta (X^{c})=\neg \rho (X)}$ и ${\textstyle \neg \eta (X)=\rho (X^{c})}$, где ${\textstyle \eta (X^{c})=\neg \rho (X)\iff \neg \eta (X)=\rho (X^{c})}$.

• Нижние границы намерений, соответствующие минимальным различимым наборам объектов ( ${\textstyle D_{k}}$s для ${\textstyle 1\leq k\leq n_{F}}$) можно использовать для определения всех намерений. Обратите внимание, что ${\textstyle D_{k}\in E_{F}}$ и ${\textstyle \eta (D_{k})=\prod \Psi ^{k}}$ похоже на прямое считывание с помощью ${\textstyle \Psi ^{k}=\lbrace m\in M\mid m\in D_{k}^{I}\rbrace \cup \lbrace \neg m\mid m\not \in D_{k}^{I},m\in M\rbrace }$.

Рис. 3: Идентификация FCL и RSL на GCL для 3BS согласно формальному контексту ${\textstyle F(G,M)}$ в Таблице 1 . Каждое общее намерение ${\textstyle [X]_{F}}$ включает в себя все атрибуты, которыми уникально обладает набор объектов. ${\textstyle X}$ в общем. Элементы включены ${\textstyle [X]_{F}}$ можно заказать как диаграмму Хассе, отождествляемую с замкнутым интервалом ${\textstyle [\eta (X),\rho (X)]}$ где ${\textstyle \rho (X)=\eta (X)+0_{\rho }}$.

Вышеизложенное позволяет определить намерения, изображенные на рис. 3, для 3BS, представленной в таблице 1 , где можно прочитать, что ${\textstyle \eta (\{1\})=a\neg b\neg c}$, ${\textstyle \eta (\{2\})=\neg ab\neg c}$ и ${\textstyle \eta (\{3\})=\neg ab\neg c}$. Следовательно, например, ${\textstyle \rho (\{1,2\})=\neg \eta (\{3\})=a+b+\neg c}$, ${\textstyle \eta (\{1,2\})=a\neg b\neg c+\neg ab\neg c=\neg \rho (\{3\})}$. Обратите внимание, что GCL также выглядит как диаграмма Хассе из-за сходства ее экстентов с набором степеней . При этом каждое намерение ${\textstyle [X]_{F}=[\eta (X),\rho (X)]}$ в ${\textstyle X}$ также демонстрирует другую диаграмму Хассе, изоморфную упорядочению атрибутов в замкнутом интервале. ${\textstyle [{\bf {0}},0_{\rho }]}$. Можно показать, что ${\textstyle \forall X\in E_{F}\ \rho (X)=\eta (X)+0_{\rho }}$ где ${\textstyle 0_{\rho }:=\neg 1_{\eta }\equiv \rho (\emptyset )}$ с ${\textstyle 1_{\eta }:=\sum _{k=1}^{n_{F}}\eta (D_{k})\equiv \eta (G)}$. Следовательно, ${\textstyle [X]_{F}=\{\eta (X)+\tau \mid {\bf {0}}\leq \tau \leq 0_{\rho }\}}$ определение мощности ${\textstyle |[X]_{F}|}$ константа, заданная как ${\textstyle 2^{2^{|M|}-n_{F}}}$. Ясно, что можно проверить, что ${\textstyle \rho (\{1,2\})=\neg \eta (\{3\})=\eta (\{1,2\})+0_{\rho }}$

Повторное открытие FCL и RSL на GCL

GCL лежит в основе исходных FCL и RSL с учетом ${\textstyle F(G,M)}$, как можно сказать из ${\textstyle \eta (X)=\prod Y^{fcl\ast }}$ и ${\textstyle \rho (X)=\sum Y^{rsl\ast }}$. Чтобы заново открыть узел для FCL, нужно найти сочетание атрибутов в ${\textstyle M}$ содержится в ${\textstyle [X]_{F}}$, что можно определить в пределах конъюнктивной нормальной формы ${\textstyle \eta (X)}$ если существует. Аналогично, для RSL ищут дизъюнкцию атрибутов в ${\textstyle M}$ содержится в ${\textstyle [X]_{F}}$, который можно найти в дизъюнктивной нормальной форме ${\textstyle \rho (X)}$, см. рис. 3 .

Например, из узла ${\textstyle (\{3\},[\{3\}]_{F})}$ на GCL обнаруживается, что ${\textstyle \eta (\{3\})=\neg a\neg bc\leq c}$ ${\textstyle \leq (a+\neg b+c)(\neg a+b+c)}$${\textstyle =\rho (\{3\})}$. Обратите внимание, что ${\textstyle c}$ кажется единственным атрибутом, принадлежащим ${\textstyle [\{3\}]_{F}}$, который одновременно является конъюнкцией и дизъюнкцией. Поэтому и FCL, и RSL имеют концепцию ${\textstyle (\{3\},\{c\})}$ в общем. Чтобы проиллюстрировать другую ситуацию, ${\textstyle \rho (\{1,3\})=(a+\neg b+c)\geq a+c}$${\textstyle \geq a\neg b\neg c+\neg a\neg bc}$${\textstyle =\eta (\{1,3\})}$. Видимо, ${\textstyle a+c}$ – это признак, возникающий в результате дизъюнкции элементов в ${\textstyle M}$ который принадлежит ${\textstyle [\{1,3\}]_{F}}$, в котором ни один атрибут не состоит из соединения элементов в ${\textstyle M}$ найден. Следовательно, ${\textstyle \{1,3\}}$ не может быть частью FCL, он представляет собой лишь концепцию ${\textstyle (\{1,3\},\{a,c\})}$ для РГБ.

Информационное содержание формального контекста

Информационные последствия как эквивалентность вследствие категоризации

Нетавтологические отношения импликации обозначают информацию, содержащуюся в формальном контексте, и называются информативными импликациями . В общем, ${\textstyle \mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}}$ влечет за собой последствия ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$. Импликация информативна, если она ${\textstyle not\ \mu _{1}\leq \mu _{2}}$ (т.е. ${\textstyle \mu _{1}\neq \mu _{1}\cdot \mu _{2}}$).

В случае, если это строго ${\textstyle \mu _{1}^{R}\subset \mu _{2}^{R}}$, у одного есть ${\textstyle \mu _{1}^{R}=\mu _{1}^{R}\cap \mu _{2}^{R}=(\mu _{1}\cdot \mu _{2})^{R}}$ где ${\textstyle \mu _{1}^{R}\cap \mu _{2}^{R}\subset \mu _{2}^{R}}$. Затем, ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$ можно заменить с помощью ${\textstyle \mu _{1}\leftrightarrow \mu _{1}\cdot \mu _{2}}$ вместе с тавтологией ${\textstyle \mu _{1}\cdot \mu _{2}\implies \mu _{2}}$. Поэтому остается принять во внимание эквивалентность ${\textstyle \mu ^{R}=\nu ^{R}=X}$ для некоторых ${\textstyle X\in E_{F}}$. Логически оба атрибута являются свойствами, принадлежащими одному и тому же классу объектов. ${\textstyle \mu \leftrightarrow \nu }$ отражает это отношение эквивалентности.

Все атрибуты в ${\textstyle [X]_{F}}$ должны быть взаимно подразумеваемыми, который может быть реализован, например, путем ${\textstyle \forall \mu \in [X]_{F}\ \mu \rightarrow \eta (X)}$ (фактически, ${\textstyle \mu \leftrightarrow \eta (X)}$ где ${\textstyle \eta (X)\rightarrow \mu }$ является тавтологией), т. е. все атрибуты эквивалентны нижней границе намерения.

Формула, реализующая все информативные последствия

Извлечение последствий типа ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ из формального контекста было известно как сложное, это требует усилий по построению канонической основы , которая не применима к импликациям типа ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$. Напротив, приведенная выше эквивалентность предполагает только

• единственная формула, генерирующая все информативные последствия :

${\textstyle \forall \mu \in M^{\ast }\ \mu \rightarrow \mu \cdot 1_{\eta }}$, which can be restated as ${\textstyle \forall \mu \in M^{\ast }\ \mu +0_{\rho }\rightarrow \mu }$,

• в качестве вспомогательной формулы,

${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$ is allowed by the formal context iff ${\textstyle \mu _{1}\cdot 1_{\eta }\leq \mu _{2}\cdot 1_{\eta }}$ (or ${\textstyle \mu _{1}+0_{\rho }\leq \mu _{2}+0_{\rho }}$).

Следовательно, для определения отношений импликации можно использовать чисто алгебраические формулы; нет необходимости обращаться к зависимости объект-атрибут в формальном контексте, что является типичной попыткой найти канонический базис.

Примечательно, ${\textstyle 1_{\eta }}$ и ${\textstyle 0_{\rho }}$ называются контекстуальной истиной и ложностью соответственно. ${\textstyle \forall X\in E_{F}}$ ${\textstyle 0_{\rho }+\rho (X)=\rho (X)}$ и ${\textstyle 0_{\rho }\cdot \rho (X)=0_{\rho }}$ а также ${\textstyle 1_{\eta }\cdot \eta (X)=\eta (X)}$ и ${\textstyle 1_{\eta }+\eta (X)=1_{\eta }}$ аналогично общепринятой истине 1 и ложности 0 , которые можно отождествить с ${\textstyle \rho (G)}$ и ${\textstyle \eta (\emptyset )}$, соответственно.

Помимо последствий от набора к набору

${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ и ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ оказываются особыми формами ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$. Предполагать ${\textstyle A=\{a_{1},a_{2},\ldots \}\subseteq M}$ и ${\textstyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots \}\subseteq M}$ для обоих случаев. К ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$, набор объектов, содержащий все атрибуты в ${\textstyle A}$ подразумевает перенос всех атрибутов в ${\textstyle B}$ одновременно , т.е. ${\textstyle \prod _{i}a_{i}\rightarrow \prod _{i}b_{i}}$. К ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$, набор объектов, несущий любой из атрибутов в ${\textstyle A}$ подразумевает перенос некоторых атрибутов в ${\textstyle B}$, поэтому ${\textstyle \sum _{i}a_{i}\rightarrow \sum _{i}b_{i}}$. Примечательно, что точка зрения соединения-союза также была подчеркнута Гантером. при работе с исследованием атрибутов.

Можно было бы упустить из виду значительную часть логического содержания в формальном контексте, если бы не рассмотрение, основанное на GCL. Здесь формальный контекст, описывающий 3BS, приведенный в таблице 1, предполагает крайний случай, когда никакие последствия типа ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ можно было найти. Тем не менее, в конечном итоге, например, ${\textstyle \{a,b\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a,b,c\}}$ (или ${\textstyle \{a,b\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{c\}}$), значение которого представляется двусмысленным. Хотя это правда, что ${\textstyle ab\rightarrow abc}$, также можно заметить, что ${\textstyle (ab)^{R}=\{a,b\}^{I}=\emptyset }$ а также ${\textstyle (abc)^{R}=\{a,b,c\}^{I}}$ ${\textstyle =\emptyset }$. Действительно, используя приведенную выше формулу с ${\textstyle 1_{\eta }}$ представленное на рис. 2, видно, что ${\textstyle ab\cdot 1_{\eta }\equiv {\bf {0}}}$ ${\textstyle \equiv abc\cdot 1_{\eta }}$, следовательно, это ${\textstyle ab\leftrightarrow {\bf {0}}}$ и ${\textstyle abc\leftrightarrow {\bf {0}}}$ что лежит в основе ${\textstyle ab\rightarrow abc}$.

Примечательно, что та же самая формула приведет к (1) ${\textstyle a\rightarrow a\neg b\neg c}$ (или ${\textstyle a\rightarrow \neg b\neg c}$) и (2) ${\textstyle \neg b\neg c\rightarrow \neg b\neg ca}$ (или ${\textstyle \neg b\neg c\rightarrow a}$), где ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ и ${\textstyle c}$ можно поменять местами. Следовательно, из 3BS можно понять, что (1) никакие два цвета не могут сосуществовать и что (2) не существует другого цвета, кроме ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ и ${\textstyle c}$. Эти две проблемы, безусловно, менее тривиальны в рамках ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ и ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$.

Правила сборки или преобразования последствий

Правила сборки или преобразования импликаций типа ${\textstyle \mu \rightarrow \nu }$ являются прямыми следствиями отношений включения множества объектов . Примечательно, что некоторые из этих правил можно свести к аксиомам Армстронга , которые относятся к основным соображениям Гига и Дюкенна. основан на неизбыточном сборе информативных значений, полученных через FCL. В частности,

(1) ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$ and ${\textstyle \nu _{1}\rightarrow \nu _{2}}$ ${\textstyle \implies }$ ${\textstyle \mu _{1}\cdot \nu _{1}\rightarrow \mu _{2}\cdot \nu _{2}}$
since ${\textstyle \mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}}$ and ${\textstyle \nu _{1}^{R}\subseteq \nu _{2}^{R}}$ leads to ${\textstyle \mu _{1}^{R}\cap \nu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}\cap \nu _{2}^{R}}$, i.e., ${\textstyle (\mu _{1}\cdot \nu _{1})^{R}\subseteq (\mu _{2}\cdot \nu _{2})^{R}}$.

В случае ${\textstyle \mu _{1}=\prod A_{1}}$, ${\textstyle \nu _{1}=\prod B_{1}}$, ${\textstyle \mu _{2}=\prod A_{2}}$ и ${\textstyle \nu _{2}=\prod B_{2}}$, где ${\textstyle A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}}$ являются наборами атрибутов, правило (1) можно переформулировать как композицию Армстронга :

(1') ${\textstyle A_{1}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}A_{2}}$ and ${\textstyle B_{1}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B_{2}}$${\textstyle \implies }$ ${\textstyle A_{1}\cup B_{1}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}A_{2}\cup B_{2}}$
${\textstyle \because (\prod A_{1})\cdot (\prod B_{1})\equiv \prod (A_{1}\cup B_{1})}$ and ${\textstyle (\prod A_{2})\cdot (\prod B_{2})\equiv \prod (A_{2}\cup B_{2})}$.

Аксиомы Армстронга не подходят для ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ что требует ${\textstyle A\subseteq B}$. Это в отличие от ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ Армстронга для которого рефлексивность реализуется ${\textstyle A\supseteq B}$. Тем не менее, аналогичная композиция может встречаться, но обозначать другое правило, чем (1). Заметим, что также приходим к

(2) ${\textstyle (\mu _{1}\rightarrow \mu _{2})}$ and ${\textstyle (\nu _{1}\rightarrow \nu _{2})}$ ${\textstyle \implies }$ ${\textstyle (\mu _{1}+\nu _{1}\rightarrow \mu _{2}+\nu _{2})}$
since ${\textstyle \mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}}$ and ${\textstyle \nu _{1}^{R}\subseteq \nu _{2}^{R}}$ ${\textstyle \implies }$ ${\textstyle (\mu _{1}+\nu _{1})^{R}\subseteq (\mu _{2}+\nu _{2})^{R}}$, which gives rise to
(2') ${\textstyle A_{1}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}A_{2}}$ and ${\textstyle B_{1}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B_{2}}$ ${\textstyle \implies }$${\textstyle A_{1}\cup A_{2}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B_{1}\cup B_{2}}$ whenever ${\textstyle \mu _{1}=\sum A_{1}}$, ${\textstyle \nu _{1}=\sum B_{1}}$, ${\textstyle \mu _{2}=\sum A_{2}}$ and ${\textstyle \nu _{2}=\sum B_{2}}$.

Пример

Для конкретики рассмотрим пример, изображенный в Таблице 2 , который изначально был принят для пояснения RSL. но сработало для GCL.

Таблица 2: Пример формального контекста. Поскольку объекты $3{\mbox{ and }}4$ наделены одним и тем же свойством, они принадлежат одному и тому же минимальному различимому множеству объектов. Можно выбрать $D_{1}=\{1\}$, $D_{2}=\{2\}$, $D_{3}=\{3,4\}$, $D_{4}=\{5\}$ и $D_{5}=\{6\}$. Обратите внимание, что полностью расширенная версия $F^{\ast }(G,M^{\ast })$ включает в себя $2^{2^{|M|}}$столбцы, где мощность набора атрибутов $|M|=5$. Таблица огромна, но ею можно управлять, если иметь дело с GCL. скрывать

	$F(G,M)$					$2^{2^{5}}-5{\mbox{ more columns}}$
$M^{\ast }$ $G$	$a$	$b$	$c$	$d$	$e$	$\neg a+b$	$\neg b$	$a+\neg c+d\neg e$	$\ldots$	${\quad }$	$\ldots$
1	$\times$		$\times$	$\times$	$\times$		$\times$	$\times$
2	$\times$		$\times$				$\times$	$\times$
3		$\times$			$\times$	$\times$		$\times$
4		$\times$			$\times$	$\times$		$\times$
5	$\times$						$\times$	$\times$
6	$\times$	$\times$			$\times$	$\times$		$\times$

Структура GCL и обозначения FCL и RSL на GCL.

• Определение узлов GCL для Таблицы 2 является простым, как показано на Фиг.4 . Например, можно прочитать

  

  Рис. 4: Считывание GCL из формального контекста. На каждом узле двоичная строка должна обозначать экстент, например, 01010 обозначает набор объектов. ${\textstyle D_{2}\cup D_{4}}$ то есть ${\textstyle \{2,5\}}$, 00100 обозначает ${\textstyle D_{3}}$ то есть ${\textstyle \{3,4\}}$. На этом рисунке ${\textstyle \eta (\{2,5\})}$ и ${\textstyle \rho (\{2,5\})}$ показаны. Соответственно, можно выявить все нижние и верхние границы намерений в выражениях контекстуальная истинность и ложность ( ${\textstyle 1_{\eta }}$ и ${\textstyle 0_{\rho }}$), соответственно.

${\textstyle \eta (\{2,5\})}$ ${\textstyle =\eta (D_{2}\cup D_{4})}$${\textstyle =\eta (D_{2})+\eta (D_{4})}$${\textstyle =\eta (\{2\})+\eta (\{5\})}$${\textstyle =a\neg bc\neg d\neg e+a\neg b\neg c\neg d\neg e}$${\textstyle =a\neg b\neg d\neg e}$,
${\textstyle \rho (\{2,5\})=\neg \eta (\{1,3,4,6\})}$${\textstyle =(\neg a+b+\neg c+\neg d+\neg e)}$${\textstyle (\neg b+c+d+\neg e)}$,
${\textstyle \eta (\{3,4\})}$${\textstyle =\eta (D_{3})}$${\textstyle =\neg ab\neg c\neg de}$, and so forth.

Очевидно, можно также проверить, что ${\textstyle \rho (\{2,5\})=\neg \eta (\{1,3,4,6\})=\eta (\{2,5\})+0_{\rho }}$.

• Чтобы заново открыть исходные FCL и RSL, см. рис. 5 . Наблюдайте, например,

${\textstyle \eta (\{1,2,5,6\})=a\neg bcde}$${\textstyle +a\neg bc\neg d\neg e}$${\textstyle +a\neg b\neg c\neg d\neg e}$${\textstyle +ab\neg c\neg de}$ ${\textstyle =a(\neg b+e)}$${\textstyle (\neg d+e)}$${\textstyle (\neg b+\neg c)}$${\textstyle (\neg b+\neg d)}$${\textstyle (b+c+\neg e)}$${\textstyle (c+\neg d)}$${\textstyle (b+d+\neg e)}$${\textstyle (\neg c+d+\neg e)}$,
${\textstyle \rho (\{1,2,5,6\})}$${\textstyle =a}$${\textstyle +\neg b}$${\textstyle +c}$${\textstyle +d}$${\textstyle +\neg e}$${\textstyle =\neg \eta (\{3,4\})}$.

В рамках выражения ${\textstyle \eta (\{1,2,5,6\})}$ видно, что ${\textstyle {a}^{R}=\lbrace a\rbrace ^{I}}$${\textstyle =\lbrace 1,2,5,6\rbrace }$, пока внутри ${\textstyle \rho (\{1,2,5,6\})}$ это можно увидеть ${\textstyle (a+c+d)^{R}}$${\textstyle =\lbrace {a,c,d}\rbrace ^{\Diamond }}$${\textstyle =\lbrace 1,2,5,6\rbrace }$. Таким образом, человек узнает понятия ${\textstyle (\lbrace 1,2,5,6\rbrace ,\lbrace a\rbrace )}$ для FCL и ${\textstyle (\lbrace 1,2,5,6\rbrace ,\lbrace a,c,d\rbrace )}$ для РГБ. Напротив,

${\textstyle \eta (\{1,6\})}$ ${\textstyle =ae(\neg bcd+b\neg c\neg d)}$, ${\textstyle \rho (\lbrace 1,6\rbrace )={d}+ab+ce}$${\textstyle +\neg be}$${\textstyle +\neg a\neg e}$

с ${\textstyle (ae)^{R}=\{a,e\}^{I}}$ ${\textstyle =\{1,6\}}$ порождает концепцию ${\textstyle (\lbrace 1,6\rbrace ,\lbrace a,e\rbrace )}$ для FCL, однако, не может предоставить степень RSL, поскольку ${\textstyle d^{R}\equiv \lbrace d\rbrace ^{\Diamond }=\lbrace 1\rbrace \neq \lbrace 1,6\rbrace }$.

Рис. 5: GCL, построенный в соответствии с формальным контекстом, приведенным в таблице 2 . Точки в кружках — это узлы, существующие на FCL, а жирные — на RSL, также ср. Рис. 3 .

Импликационные отношения в целом

• Значения ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ и ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ по сути разные.

${\textstyle \{c,d\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a\}}$ and ${\textstyle \{c,d\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{a\}}$ denote ${\textstyle c\cdot d\rightarrow a}$ and ${\textstyle c+d\rightarrow a}$, respectively.

В данном случае приведенные выше соотношения можно рассмотреть с помощью вспомогательной формулы :

${\textstyle c\cdot d\cdot 1_{\eta }\leq a\cdot 1_{\eta }}$ (or ${\textstyle c\cdot d+0_{\rho }\leq a+0_{\rho }}$), ${\textstyle (c+d)\cdot 1_{\eta }\leq a\cdot 1_{\eta }}$ (or ${\textstyle c+d+0_{\rho }\leq a+0_{\rho }}$).

• ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ и ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ эквивалентны, когда оба $A{\mbox{ and }}B$ сводятся к множествам из одного элемента.

Both ${\textstyle \{c\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a\}}$ and ${\textstyle \{c\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{a\}}$, according to the formal context of Table 2, are interpreted as ${\textstyle c\rightarrow a}$, which means ${\textstyle \{c\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a\}}$ based on ${\textstyle \{c\}^{I}\subset \{a\}^{I}}$and ${\textstyle \{c\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{a\}}$ based on ${\textstyle \{c\}^{\Diamond }\subset \{a\}^{\Diamond }}$.

Обратите внимание, что ${\textstyle c^{R}=\{c\}^{I}=\{c\}^{\Diamond }}$${\textstyle =\{1,2\}}$ ${\textstyle \subset \{1,2,5,6\}}$${\textstyle =a^{R}}$${\textstyle =\{a\}^{I}}$${\textstyle =\{a\}^{\Diamond }}$. Более того, ${\textstyle c\rightarrow a}$ влечет за собой оба ${\textstyle c\rightarrow c\cdot a}$ и ${\textstyle c+a\rightarrow a}$, которые соответствуют ${\textstyle \{c\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a,c\}}$ и ${\textstyle \{c,a\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{a\}}$, соответственно.

• Одной формулы достаточно для создания всех информативных последствий, когда можно выбрать любой атрибут в $M^{\ast }$ как антецедент или следствие.

(1) With ${\textstyle \mu \rightarrow \mu \cdot 1_{\eta }}$ one may infer the properties of objects of interest from the condition ${\textstyle 1_{\eta }}$ by specifying ${\textstyle \mu }$, thereby incorporating abundant informative implications as equivalent relations between any pair of attributes within the interval $[\mu \cdot 1_{\eta },\mu ]$, i.e., ${\textstyle \forall \mu _{1}\forall \mu _{2}}$ ${\textstyle \mu _{1}\leftrightarrow \mu _{2}}$ if $\mu \cdot 1_{\eta }\leq \mu _{1}\leq \mu$ and $\mu \cdot 1_{\eta }\leq \mu _{2}\leq \mu$. Note that ${\textstyle \mu \rightarrow \mu \cdot 1_{\eta }}$ entails ${\textstyle \mu \leftrightarrow \mu \cdot 1_{\eta }}$ since ${\textstyle \mu \cdot 1_{\eta }\leq \mu }$.

Например, по ${\textstyle (c+d)\cdot 1_{\eta }}$ ${\textstyle =c\cdot 1_{\eta }}$ ${\textstyle =a\neg bc(de+\neg d\neg e)}$ отношение ${\textstyle c+d}$ ${\textstyle \rightarrow a\neg bc(de+\neg d\neg e)}$ не относится ни к тому типу ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ ни типа ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$. Тем не менее, можно также вывести, например, ${\textstyle c+d\rightarrow c}$, ${\textstyle c+d\rightarrow a}$ и ${\textstyle cd\rightarrow a}$, которые ${\textstyle \{c,d\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{c\}}$, ${\textstyle \{c,d\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{a\}}$ и ${\textstyle \{c,d\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a\}}$, соответственно. В качестве еще одного интересного следствия ${\textstyle c+d\rightarrow \neg b(de+\neg d\neg e)}$ влечет за собой ${\textstyle c+d\rightarrow \neg b\cdot (e\leftrightarrow d)}$ посредством материального импликации . А именно, для объектов, несущих свойство ${\textstyle c}$ или ${\textstyle d}$, ${\textstyle \neg b}$ должны содержать и, кроме того, предметы, несущие имущество ${\textstyle e}$ также необходимо нести имущество ${\textstyle d}$ и наоборот.

(1') Alternatively, the equivalent formula ${\textstyle \mu +0_{\rho }\rightarrow \mu }$ can be employed to specify the objects of particular interest. In effect, ${\textstyle \forall \mu _{1}\forall \mu _{2}}$ ${\textstyle \mu _{1}\leftrightarrow \mu _{2}}$ if $\mu \leq \mu _{1}\leq \mu +0_{\rho }$ and $\mu \leq \mu _{2}\leq \mu +0_{\rho }$.

Кого-то могут заинтересовать свойства, из которых вытекает конкретный консеквент , скажем, ${\textstyle e\rightarrow a}$. Учитывать ${\textstyle \mu :=\neg e+a}$ ${\textstyle \iff e\rightarrow a}$ порождая ${\textstyle \mu +0_{\rho }}$ ${\textstyle =a+\neg b+c+d+\neg e}$ согласно Таблице 2 . Ясно, что с $\neg e+a$ $\leq \mu _{1}$$\leq a+\neg b+c+d+\neg e$ у одного есть ${\textstyle \mu _{1}\leftrightarrow (e\rightarrow a)}$. Это порождает множество возможных предшественников, таких как ${\textstyle (e\rightarrow a+c+d)\rightarrow (e\rightarrow a)}$, ${\textstyle (b\rightarrow (e\rightarrow a+c))\rightarrow (e\rightarrow a)}$, ${\textstyle (e\rightarrow (b\rightarrow a+c))\rightarrow (e\rightarrow a)}$, ${\textstyle (b\rightarrow (e\rightarrow a+c+d))\rightarrow (e\rightarrow a)}$ и так далее.

(2) ${\textstyle 1_{\eta }}$ governs all the implications extractable from the formal context by means of (1) and (1'). Indeed, it plays the role of canonical basis with one single implication relation.

${\textstyle 1_{\eta }}$ можно понимать как ${\textstyle {\bf {1}}\rightarrow 1_{\eta }}$ или эквивалентно ${\textstyle 0_{\rho }\rightarrow {\bf {0}}}$, который оказывается единственным неизбыточным импликацией, необходимым для вывода всех информативных импликаций из любого формального контекста. Основа ${\textstyle {\bf {1}}\rightarrow 1_{\eta }}$ или ${\textstyle 0_{\rho }\rightarrow {\bf {0}}}$ достаточно вывести все следствия следующим образом. Пока ${\textstyle \forall \mu }$ ${\textstyle {\bf {1}}\rightarrow 1_{\eta }}$${\textstyle \implies \mu \rightarrow \mu 1_{\eta }}$ и ${\textstyle \forall \nu }$ ${\textstyle 0_{\rho }\rightarrow {\bf {0}}}$${\textstyle \implies \nu +0_{\rho }\rightarrow \nu }$, выбирая либо ${\textstyle \mu =\rho (X)}$ или ${\textstyle \nu =\eta (X)}$ дает начало ${\textstyle \rho (X)\rightarrow \eta (X)}$. Примечательно, что это охватывает (1) и (1') посредством $\mu \cdot 1_{\eta }\equiv \eta (\mu ^{R})$$\leq \mu$ $\leq \rho (\mu ^{R})\equiv \mu +0_{\rho }$ для любого $\mu$, где $\mu ^{R}$ можно отождествить с некоторыми ${\textstyle X}$ соответствующий одному из 32 узлов GCL на рис. 4 .

${\textstyle \rho (X)\rightarrow \eta (X)}$ разрабатывает эквивалентность в каждом отдельном узле для всех атрибутов, содержащихся в интервале ${\textstyle [\eta (X),\rho (X)]}$. Более того, информативные импликации могут также связывать различные узлы посредством гипотетического силлогизма , вызывая тавтологию. Обычно ${\textstyle \forall \mu _{1}\in [X_{1}]_{F}\forall \mu _{2}\in [X_{2}]_{F}}$ ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$ в любое время ${\textstyle (X_{1},[X_{1}]_{F})}$ ${\textstyle \leq (X_{2},[X_{2}]_{F})}$. Это соответствует случаям, рассмотренным в (1'): ${\textstyle (b\rightarrow c)\rightarrow (e\rightarrow a)}$, ${\textstyle c\rightarrow (e\rightarrow a)}$, ${\textstyle \neg b\rightarrow (e\rightarrow a)}$ и т. д. Явно, ${\textstyle (b\rightarrow c)\rightarrow (e\rightarrow a)}$ основан на ${\textstyle \neg b+c\in [\{1,2,5\}]_{F}}$ и ${\textstyle \neg e+a\in [\{1,2,5,6\}]_{F}}$ где ${\textstyle \{1,2,5\}\subseteq \{1,2,5,6\}}$. Обратите внимание, что ${\textstyle \neg b+c\leftrightarrow \rho (\{1,2,5\})}$${\textstyle \leftrightarrow \eta (\{1,2,5\})}$ и ${\textstyle \neg e+a\leftrightarrow \rho (\{1,2,5,6\})}$${\textstyle \leftrightarrow \eta (\{1,2,5,6\})}$ пока ${\textstyle \rho (\{1,2,5\})}$${\textstyle \leq \rho (\{1,2,5,6\})}$ (также ${\textstyle \eta (\{1,2,5\})\leq \eta (\{1,2,5,6\})}$). Поэтому, ${\textstyle (b\rightarrow c)\rightarrow (e\rightarrow a)}$. Сходным образом, ${\textstyle c\in [\{1,2\}]_{F}}$ с ${\textstyle \{1,2\}\subseteq \{1,2,5,6\}}$ дает ${\textstyle c\rightarrow (e\rightarrow a)}$.

Действительно, ${\textstyle {\bf {1}}\rightarrow 1_{\eta }}$ или эквивалентно ${\textstyle 0_{\rho }\rightarrow {\bf {0}}}$ играет роль канонического базиса с одним единственным отношением импликации.