Поправка Шеппарда

В статистике поправки Шеппарда представляют собой приблизительные поправки к оценкам , моментов вычисленным на основе объединенных данных. Концепция названа в честь Уильяма Флитвуда Шеппарда .

Позволять $m_{k}$ быть измеренным k ^й момент, ${\hat {\mu }}_{k}$ соответствующий исправленный момент, и $c$ тот ширина интервала классов (т. е. ширина интервала). Для среднего значения (первый момент около нуля) поправка не требуется. Первые несколько измеренных и скорректированных моментов относительно среднего значения затем связаны следующим образом:

${\begin{aligned}{\hat {\mu }}_{2}&=m_{2}-{\frac {1}{12}}c^{2}\\{\hat {\mu }}_{3}&=m_{3}\\{\hat {\mu }}_{4}&=m_{4}-{\frac {1}{2}}m_{2}c^{2}+{\frac {7}{240}}c^{4}.\end{aligned}}$

Когда данные поступают из нормально распределенной совокупности, группирование и использование средней точки интервала в качестве наблюдаемого значения приводит к переоценке дисперсии. Поэтому поправка к дисперсии отрицательна. Причина, по которой неисправленная оценка дисперсии является завышенной, заключается в том, что ошибка отрицательно коррелирует с наблюдением. Для равномерного распределения ошибка не коррелирует с наблюдением, поэтому поправка должна быть + c ² /12, что представляет собой дисперсию самой ошибки, а не — c ² /12. Таким образом, поправка Шеппарда смещена в пользу распределения населения, в котором ошибка отрицательно коррелирует с данными наблюдения.

Кумулянты . суммы сгруппированной переменной и однородной переменной представляют собой суммы кумулянтов Поскольку нечетные кумулянты равномерного распределения равны нулю; затронуты только четные моменты.

Второй и четвертый кумулянты равномерного распределения на (−0,5 c , 0,5 c ) равны соответственно c ² /12 и − с ⁴ /120.

Поправка к моментам может быть получена из соотношения между кумулянтами и моментами.

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Поправка Шеппарда» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 2 марта 2014 г.
• Уэзерберн, CE (1949), Первый курс математической статистики , Cambridge University Press