Теория неопределенности (Лю)

Не путать с принципом неопределенности .

Теория неопределенности, изобретенная Баодином Лю — раздел математики , основанный на аксиомах нормальности, монотонности , самодуальности , счётной субаддитивности и продуктовой меры.

Математические меры вероятности того, что событие является истинным, включают теорию вероятностей , емкость, нечеткую логику , возможность и достоверность, а также неопределенность.

Четыре аксиомы

Аксиома 1. (Аксиома нормальности) ${\mathcal {M}}\{\Gamma \}=1{\text{ for the universal set }}\Gamma$.

Аксиома 2. (Аксиома Самодуальности) ${\mathcal {M}}\{\Lambda \}+{\mathcal {M}}\{\Lambda ^{c}\}=1{\text{ for any event }}\Lambda$.

Аксиома 3. (Аксиома счетной субаддитивности) Для каждой счетной последовательности событий $\Lambda _{1},\Lambda _{2},\ldots$, у нас есть

${\mathcal {M}}\left\{\bigcup _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}\right\}\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mathcal {M}}\{\Lambda _{i}\}$.

Аксиома 4. (Аксиома меры произведения) Пусть $(\Gamma _{k},{\mathcal {L}}_{k},{\mathcal {M}}_{k})$ быть пространствами неопределенности для $k=1,2,\ldots ,n$. Тогда произведение неопределенной меры ${\mathcal {M}}$ является неопределенной мерой произведения σ-алгебры, удовлетворяющей

${\mathcal {M}}\left\{\prod _{i=1}^{n}\Lambda _{i}\right\}={\underset {1\leq i\leq n}{\operatorname {min} }}{\mathcal {M}}_{i}\{\Lambda _{i}\}$.

Принцип. (Принцип максимальной неопределенности) Для любого события, если существует несколько разумных значений, которые может принимать неопределенная мера, событию присваивается значение, максимально близкое к 0,5.

Неопределенные переменные

Неопределенная переменная — это измеримая функция ξ из пространства неопределенности. $(\Gamma ,L,M)$ к множеству действительных чисел , т. е. для любого борелевского множества B действительных чисел множество $\{\xi \in B\}=\{\gamma \in \Gamma \mid \xi (\gamma )\in B\}$ это событие.

Распределение неопределенности

Распределение неопределенности вводится для описания неопределенных переменных.

Определение : Распределение неопределенности. $\Phi (x):R\rightarrow [0,1]$ неопределенной переменной ξ определяется формулой $\Phi (x)=M\{\xi \leq x\}$.

Теорема (Пэн и Ивамура, Достаточное и необходимое условие распределения неопределенности ): функция $\Phi (x):R\rightarrow [0,1]$ является неопределенным распределением тогда и только тогда, когда оно является возрастающей функцией, за исключением $\Phi (x)\equiv 0$ и $\Phi (x)\equiv 1$.

Независимость

Определение : Неопределенные переменные. $\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}$ называются независимыми, если

$M\{\cap _{i=1}^{m}(\xi \in B_{i})\}={\mbox{min}}_{1\leq i\leq m}M\{\xi _{i}\in B_{i}\}$

для любых наборов Бореля $B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m}$ действительных чисел.

Теорема 1 : Неопределенные переменные $\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}$ независимы, если

$M\{\cup _{i=1}^{m}(\xi \in B_{i})\}={\mbox{max}}_{1\leq i\leq m}M\{\xi _{i}\in B_{i}\}$

для любых наборов Бореля $B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m}$ действительных чисел.

Теорема 2 : Пусть $\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}$ быть независимыми неопределенными переменными и $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{m}$ измеримые функции. Затем $f_{1}(\xi _{1}),f_{2}(\xi _{2}),\ldots ,f_{m}(\xi _{m})$ являются независимыми неопределенными переменными.

Теорема 3 : Пусть $\Phi _{i}$ быть распределениями неопределенности независимых неопределенных переменных $\xi _{i},\quad i=1,2,\ldots ,m$ соответственно, и $\Phi$ совместное распределение неопределенности вектора неопределенности $(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})$. Если $\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}$ независимы, то мы имеем

$\Phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})={\mbox{min}}_{1\leq i\leq m}\Phi _{i}(x_{i})$

для любых действительных чисел $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}$.

Операционное право

Теорема : Пусть $\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}$ быть независимыми неопределенными переменными и $f:R^{n}\rightarrow R$ измеримая функция. Затем $\xi =f(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})$ является неопределенной переменной, такой что

${\mathcal {M}}\{\xi \in B\}={\begin{cases}{\underset {f(B_{1},B_{2},\cdots ,B_{n})\subset B}{\sup }}\;{\underset {1\leq k\leq n}{\min }}{\mathcal {M}}_{k}\{\xi _{k}\in B_{k}\},&{\text{if }}{\underset {f(B_{1},B_{2},\cdots ,B_{n})\subset B}{\sup }}\;{\underset {1\leq k\leq n}{\min }}{\mathcal {M}}_{k}\{\xi _{k}\in B_{k}\}>0.5\\1-{\underset {f(B_{1},B_{2},\cdots ,B_{n})\subset B^{c}}{\sup }}\;{\underset {1\leq k\leq n}{\min }}{\mathcal {M}}_{k}\{\xi _{k}\in B_{k}\},&{\text{if }}{\underset {f(B_{1},B_{2},\cdots ,B_{n})\subset B^{c}}{\sup }}\;{\underset {1\leq k\leq n}{\min }}{\mathcal {M}}_{k}\{\xi _{k}\in B_{k}\}>0.5\\0.5,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

где $B,B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m}$ являются борелевскими множествами, а $f(B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m})\subset B$ означает $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})\in B$ для любого $x_{1}\in B_{1},x_{2}\in B_{2},\ldots ,x_{m}\in B_{m}$.

Ожидаемая стоимость

Определение : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной. Тогда ожидаемое значение $\xi$ определяется

$E[\xi ]=\int _{0}^{+\infty }M\{\xi \geq r\}dr-\int _{-\infty }^{0}M\{\xi \leq r\}dr$

при условии, что хотя бы один из двух интегралов конечен.

Теорема 1 : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной с распределением неопределенности $\Phi$. Если ожидаемое значение существует, то

$E[\xi ]=\int _{0}^{+\infty }(1-\Phi (x))dx-\int _{-\infty }^{0}\Phi (x)dx.$

Теорема 2 : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной с регулярным распределением неопределенности $\Phi$. Если ожидаемое значение существует, то

$E[\xi ]=\int _{0}^{1}\Phi ^{-1}(\alpha )d\alpha .$

Теорема 3 : Пусть $\xi$ и $\eta$ быть независимыми неопределенными переменными с конечными ожидаемыми значениями. Тогда для любых действительных чисел $a$ и $b$, у нас есть

$E[a\xi +b\eta ]=aE[\xi ]+b[\eta ].$

Дисперсия

Определение : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной с конечным ожидаемым значением $e$. Тогда дисперсия $\xi$ определяется

$V[\xi ]=E[(\xi -e)^{2}].$

Теорема : Если $\xi$ быть неопределенной переменной с конечным ожидаемым значением, $a$ и $b$ действительные числа, то

$V[a\xi +b]=a^{2}V[\xi ].$

Критическое значение

Определение : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной, и $\alpha \in (0,1]$. Затем

$\xi _{sup}(\alpha )=\sup\{r\mid M\{\xi \geq r\}\geq \alpha \}$

называется α- оптимистическим значением $\xi$, и

$\xi _{inf}(\alpha )=\inf\{r\mid M\{\xi \leq r\}\geq \alpha \}$

называется α- пессимистическим значением $\xi$.

Теорема 1 : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной с регулярным распределением неопределенности $\Phi$. Тогда его α- оптимистичное значение и α- пессимистическое значение равны

$\xi _{sup}(\alpha )=\Phi ^{-1}(1-\alpha )$,

$\xi _{inf}(\alpha )=\Phi ^{-1}(\alpha )$.

Теорема 2 : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной, и $\alpha \in (0,1]$. Тогда у нас есть

• если $\alpha >0.5$, затем $\xi _{inf}(\alpha )\geq \xi _{sup}(\alpha )$;
• если $\alpha \leq 0.5$, затем $\xi _{inf}(\alpha )\leq \xi _{sup}(\alpha )$.

Теорема 3 : Предположим, что $\xi$ и $\eta$ являются независимыми неопределенными переменными, и $\alpha \in (0,1]$. Тогда у нас есть

$(\xi +\eta )_{sup}(\alpha )=\xi _{sup}(\alpha )+\eta _{sup}{\alpha }$,

$(\xi +\eta )_{inf}(\alpha )=\xi _{inf}(\alpha )+\eta _{inf}{\alpha }$,

$(\xi \vee \eta )_{sup}(\alpha )=\xi _{sup}(\alpha )\vee \eta _{sup}{\alpha }$,

$(\xi \vee \eta )_{inf}(\alpha )=\xi _{inf}(\alpha )\vee \eta _{inf}{\alpha }$,

$(\xi \wedge \eta )_{sup}(\alpha )=\xi _{sup}(\alpha )\wedge \eta _{sup}{\alpha }$,

$(\xi \wedge \eta )_{inf}(\alpha )=\xi _{inf}(\alpha )\wedge \eta _{inf}{\alpha }$.

Энтропия

Определение : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной с распределением неопределенности $\Phi$. Тогда его энтропия определяется выражением

$H[\xi ]=\int _{-\infty }^{+\infty }S(\Phi (x))dx$

где $S(x)=-t\ln(t)-(1-t)\ln(1-t)$.

Теорема 1 ( Дай и Чен ): Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной с регулярным распределением неопределенности $\Phi$. Затем

$H[\xi ]=\int _{0}^{1}\Phi ^{-1}(\alpha )\ln {\frac {\alpha }{1-\alpha }}d\alpha .$

Теорема 2 : Пусть $\xi$ и $\eta$ быть независимыми неопределенными переменными. Тогда для любых действительных чисел $a$ и $b$, у нас есть

$H[a\xi +b\eta ]=|a|E[\xi ]+|b|E[\eta ].$

Теорема 3 : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной, распределение неопределенности которой произвольно, но ожидаемое значение $e$ и дисперсия $\sigma ^{2}$. Затем

$H[\xi ]\leq {\frac {\pi \sigma }{\sqrt {3}}}.$

Неравенства

Теорема 1 ( Лю , неравенство Маркова): Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной. Тогда для любых заданных чисел $t>0$ и $p>0$, у нас есть

$M\{|\xi |\geq t\}\leq {\frac {E[|\xi |^{p}]}{t^{p}}}.$

Теорема 2 ( Лю , неравенство Чебышева) Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной, дисперсия которой $V[\xi ]$ существует. Тогда для любого заданного числа $t>0$, у нас есть

$M\{|\xi -E[\xi ]|\geq t\}\leq {\frac {V[\xi ]}{t^{2}}}.$

Теорема 3 ( Лю , неравенство Гёльдера) Пусть $p$ и $q$ быть положительными числами с $1/p+1/q=1$, и пусть $\xi$ и $\eta$ быть независимыми неопределенными переменными с $E[|\xi |^{p}]<\infty$ и $E[|\eta |^{q}]<\infty$. Тогда у нас есть

$E[|\xi \eta |]\leq {\sqrt[{p}]{E[|\xi |^{p}]}}{\sqrt[{p}]{E[\eta |^{p}]}}.$

Теорема 4 : (Лю [127], неравенство Минковского) Пусть $p$ быть действительным числом с $p\leq 1$, и пусть $\xi$ и $\eta$ быть независимыми неопределенными переменными с $E[|\xi |^{p}]<\infty$ и $E[|\eta |^{q}]<\infty$. Тогда у нас есть

${\sqrt[{p}]{E[|\xi +\eta |^{p}]}}\leq {\sqrt[{p}]{E[|\xi |^{p}]}}+{\sqrt[{p}]{E[\eta |^{p}]}}.$

Концепция конвергенции

Определение 1 : Предположим, что $\xi ,\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ являются неопределенными переменными, определенными в пространстве неопределенности $(\Gamma ,L,M)$. Последовательность $\{\xi _{i}\}$ называется сходящимся относительно $\xi$ если существует событие $\Lambda$ с $M\{\Lambda \}=1$ такой, что

$\lim _{i\to \infty }|\xi _{i}(\gamma )-\xi (\gamma )|=0$

для каждого $\gamma \in \Lambda$. В таком случае мы пишем $\xi _{i}\to \xi$,как

Определение 2 : Предположим, что $\xi ,\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ являются неопределенными переменными. Мы говорим, что последовательность $\{\xi _{i}\}$ сходится по мере к $\xi$ если

$\lim _{i\to \infty }M\{|\xi _{i}-\xi |\leq \varepsilon \}=0$

для каждого $\varepsilon >0$.

Определение 3 : Предположим, что $\xi ,\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ являются неопределенными переменными с конечными ожидаемыми значениями. Мы говорим, что последовательность $\{\xi _{i}\}$ сходится в среднем к $\xi$ если

$\lim _{i\to \infty }E[|\xi _{i}-\xi |]=0$.

Определение 4 : Предположим, что $\Phi ,\phi _{1},\Phi _{2},\ldots$ являются распределениями неопределенности неопределенных переменных $\xi ,\xi _{1},\xi _{2},\ldots$, соответственно. Мы говорим, что последовательность $\{\xi _{i}\}$ сходится по распределению к $\xi$ если $\Phi _{i}\rightarrow \Phi$ в любой точке непрерывности $\Phi$.

Теорема 1 : Сходимость в среднем $\Rightarrow$ Сходимость по мере $\Rightarrow$ Конвергенция в распределении. Однако сходимость в среднем $\nLeftrightarrow$ Конвергенция почти наверняка $\nLeftrightarrow$ Конвергенция в распределении.

Условная неопределенность

Определение 1 : Пусть $(\Gamma ,L,M)$ быть пространством неопределенности, и $A,B\in L$. Тогда условная неопределенная мера A при условии B определяется формулой

${\mathcal {M}}\{A\vert B\}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {{\mathcal {M}}\{A\cap B\}}{{\mathcal {M}}\{B\}}},&\displaystyle {\text{if }}{\frac {{\mathcal {M}}\{A\cap B\}}{{\mathcal {M}}\{B\}}}<0.5\\\displaystyle 1-{\frac {{\mathcal {M}}\{A^{c}\cap B\}}{{\mathcal {M}}\{B\}}},&\displaystyle {\text{if }}{\frac {{\mathcal {M}}\{A^{c}\cap B\}}{{\mathcal {M}}\{B\}}}<0.5\\0.5,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

${\text{provided that }}{\mathcal {M}}\{B\}>0$

Теорема 1 : Пусть $(\Gamma ,L,M)$ — пространство неопределенности, а B — событие с $M\{B\}>0$. Тогда M{·|B}, определенное определением 1, является неопределенной мерой и $(\Gamma ,L,M\{{\mbox{·}}|B\})$это пространство неопределенности.

Определение 2 : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной на $(\Gamma ,L,M)$. Условная неопределенная переменная $\xi$ данная B является измеримой функцией $\xi |_{B}$ из пространства условной неопределенности $(\Gamma ,L,M\{{\mbox{·}}|_{B}\})$ множеству действительных чисел таких, что

$\xi |_{B}(\gamma )=\xi (\gamma ),\forall \gamma \in \Gamma$.

Определение 3. Распределение условной неопределенности. $\Phi \rightarrow [0,1]$ неопределенной переменной $\xi$ данный B определяется формулой

$\Phi (x|B)=M\{\xi \leq x|B\}$

при условии, что $M\{B\}>0$.

Теорема 2 : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной с регулярным распределением неопределенности $\Phi (x)$, и $t$ действительное число с $\Phi (t)<1$. Тогда условное распределение неопределенности $\xi$ данный $\xi >t$ является

$\Phi (x\vert (t,+\infty ))={\begin{cases}0,&{\text{if }}\Phi (x)\leq \Phi (t)\\\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{1-\Phi (t)}}\land 0.5,&{\text{if }}\Phi (t)<\Phi (x)\leq (1+\Phi (t))/2\\\displaystyle {\frac {\Phi (x)-\Phi (t)}{1-\Phi (t)}},&{\text{if }}(1+\Phi (t))/2\leq \Phi (x)\end{cases}}$

Теорема 3 : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной с регулярным распределением неопределенности $\Phi (x)$, и $t$ действительное число с $\Phi (t)>0$. Тогда условное распределение неопределенности $\xi$ данный $\xi \leq t$ является

$\Phi (x\vert (-\infty ,t])={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{\Phi (t)}},&{\text{if }}\Phi (x)\leq \Phi (t)/2\\\displaystyle {\frac {\Phi (x)+\Phi (t)-1}{\Phi (t)}}\lor 0.5,&{\text{if }}\Phi (t)/2\leq \Phi (x)<\Phi (t)\\1,&{\text{if }}\Phi (t)\leq \Phi (x)\end{cases}}$

Определение 4 : Пусть $\xi$ быть неопределенной переменной. Тогда условное математическое ожидание $\xi$ данный B определяется формулой

$E[\xi |B]=\int _{0}^{+\infty }M\{\xi \geq r|B\}dr-\int _{-\infty }^{0}M\{\xi \leq r|B\}dr$

при условии, что хотя бы один из двух интегралов конечен.

Источники

• Синь Гао, Некоторые свойства непрерывной неопределенной меры, Международный журнал неопределенности, нечеткости и систем, основанных на знаниях , Том 17, № 3, 419-426, 2009.
• Куилиан Ю, Некоторые теоремы сходимости неопределенных последовательностей, математическое и компьютерное моделирование , Том 49, №№ 3–4, 482–487, 2009 г.
• Юхан Лю, Как генерировать неопределенные показатели, Материалы десятой Национальной молодежной конференции по информационным и управленческим наукам , 3–7 августа 2008 г., Лоян, стр. 23–26.
• Баодин Лю, Теория неопределенности, 4-е изд., Springer-Verlag, Берлин, [1] 2009 г.
• Баодин Лю, Некоторые исследовательские проблемы в теории неопределенности, Журнал неопределенных систем , Том 3, № 1, 3-10, 2009.
• Ян Цзо, Сяоюй Цзи, Теоретическая основа неопределенного доминирования, Материалы восьмой международной конференции по информационным и управленческим наукам , Куньмин, Китай, 20–28 июля 2009 г., стр. 827–832.
• Юхан Лю и Минху Ха, Ожидаемое значение функции неопределенных переменных, Материалы восьмой Международной конференции по информационным и управленческим наукам , Куньмин, Китай, 20–28 июля 2009 г., стр. 779–781.
• Чжунфэн Цинь, О логнормальной неопределенной переменной, Материалы Восьмой Международной конференции по информационным и управленческим наукам , Куньмин, Китай, 20–28 июля 2009 г., стр. 753–755.
• Цзинь Пэн, «Ценность под риском» и «Хвостовая стоимость под риском в неопределенной среде», Труды восьмой Международной конференции по информационным и управленческим наукам, Куньмин, Китай , 20–28 июля 2009 г., стр. 787–793.
• И Пэн, U-кривая и U-коэффициент в неопределенной среде, Материалы Восьмой Международной конференции по информационным и управленческим наукам , Куньмин, Китай, 20–28 июля 2009 г., стр. 815–820.
• Вэй Лю, Цзюпин Сюй, Некоторые свойства оператора ожидаемого значения для неопределенных переменных, Материалы восьмой международной конференции по информационным и управленческим наукам , Куньмин, Китай, 20–28 июля 2009 г., стр. 808–811.
• Сяоху Ян, Неравенство моментов и хвостов в рамках теории неопределенности, Материалы восьмой Международной конференции по информационным и управленческим наукам , Куньмин, Китай, 20–28 июля 2009 г., стр. 812–814.
• Юань Гао, Анализ системы k-out-n с неопределенным временем жизни, Материалы восьмой Международной конференции по информационным и управленческим наукам , Куньмин, Китай, 20–28 июля 2009 г., стр. 794–797.
• Синь Гао, Шужен Сунь, Формула дисперсии для трапецеидальных неопределенных переменных, Труды восьмой Международной конференции по информационным и управленческим наукам , Куньмин, Китай, 20–28 июля 2009 г., стр. 853–855.
• Цзысюн Пэн, Достаточное и необходимое условие для неопределенного нулевого множества продукта, Материалы восьмой международной конференции по информационным и управленческим наукам , Куньмин, Китай, 20–28 июля 2009 г., стр. 798–801.