Q-тензор

В физике, $\mathbf {Q}$ тензор — ориентационный параметр порядка , который описывает одноосные и двуосные нематические жидкие кристаллы и обращается в нуль в изотропной жидкой фазе. $\mathbf {Q}$ Тензор является бесследовым симметричным тензором второго порядка и определяется формулой

$\mathbf {Q} =S\left(\mathbf {n} \mathbf {n} -{\frac {1}{3}}\mathbf {I} \right)+P\left(\mathbf {m} \mathbf {m} -{\frac {1}{3}}\mathbf {I} \right)$

где $S=S(T)$ и $P=P(T)$ являются скалярными параметрами порядка, $(\mathbf {n} ,\mathbf {m} )$ являются двумя директорами нематической фазы и $T$ это температура ; в одноосных жидких кристаллах, $P=0$. Компоненты тензора:

$Q_{ij}=S\left(n_{i}n_{j}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\right)+P\left(m_{i}m_{j}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\right)$

Штаты с директорами $\mathbf {n}$ и $-\mathbf {n}$ физически эквивалентны, как и состояния с директорами $\mathbf {m}$ и $-\mathbf {m}$ физически эквивалентны.

The $\mathbf {Q}$ тензор всегда можно диагонализовать,

$\mathbf {Q} =-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}S+P&0&0\\0&S-P&0\\0&0&-2S\\\end{pmatrix}}$

Ниже инварианты приведены $\mathbf {Q}$ тензор

$\delta =Q_{ij}Q_{ij}={\frac {1}{2}}(3S^{2}+P^{2}),\quad \Delta =Q_{ij}Q_{jk}Q_{ki}={\frac {3}{4}}S(S^{2}-P^{2});$

инвариант первого порядка $Q_{ii}=0$ здесь тривиально. Можно показать, что $\delta ^{3}\geq 6\Delta ^{2}.$

Одноосные нематики

В одноосных нематических жидких кристаллах $P=0$ и поэтому $\mathbf {Q}$ тензор сводится к

$\mathbf {Q} =S\left(\mathbf {n} \mathbf {n} -{\frac {1}{3}}\mathbf {I} \right).$

Скалярный параметр порядка определяется следующим образом. Если $\theta _{\mathrm {mol} }$ представляет собой угол между осью нематической молекулы и осью директора $\mathbf {n}$, затем

$S=\langle P_{2}(\cos \theta _{\mathrm {mol} })\rangle ={\frac {1}{2}}\langle 3\cos ^{2}\theta _{\mathrm {mol} }-1\rangle ={\frac {1}{2}}\int (3\cos ^{2}\theta _{\mathrm {mol} }-1)f(\theta _{\mathrm {mol} })d\Omega$

где $\langle \cdot \rangle$ обозначает среднее по ансамблю ориентационных углов, рассчитанное по функции распределения $f(\theta _{\mathrm {mol} })$ и $d\Omega =\sin \theta _{\mathrm {mol} }d\theta _{\mathrm {mol} }d\phi _{\mathrm {mol} }$ это телесный угол . Функция распределения обязательно должна удовлетворять условию $f(\theta _{\mathrm {mol} }+\pi )=f(\theta _{\mathrm {mol} })$ поскольку директора $\mathbf {n}$ и $-\mathbf {n}$ физически эквивалентны.

Диапазон для $S$ дается $-1/2\leq S\leq 1$, с $S=1$ представляющее идеальное выравнивание всех молекул вдоль директора и $S=0$ представляющее полное случайное выравнивание (изотропное) всех молекул относительно директора; тот $S=-1/2$ Случай указывает на то, что все молекулы ориентированы перпендикулярно оси директора, хотя такие нематики редки или их трудно синтезировать.

См. также

• Теория Ландау – де Жена