Неравенство Брезиса – Галлуэ

В математическом анализе неравенство Брезиса -Галлуэ , названное в честь Хаима Брезиса и Тьерри Галлуэ, представляет собой неравенство, действительное в двух пространственных измерениях. Он показывает, что функция двух переменных, которая является достаточно гладкой, (по существу) ограничена, и дает явную оценку, которая зависит только логарифмически от вторых производных. Это полезно при изучении уравнений в частных производных .

Позволять $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ быть внешней или внутренней частью ограниченной области с регулярной границей, или $\mathbb {R} ^{2}$ сам. Тогда неравенство Брезиса–Галлуэ утверждает, что существует реальная $C$ только в зависимости от $\Omega$ такой, что для всех $u\in H^{2}(\Omega )$ который не равен 0,

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}\left(1+{\Bigl (}\log {\bigl (}1+{\frac {\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}{\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}}{\bigr )}{\Bigr )}^{1/2}\right).$

Доказательство

Гипотеза регулярности $\Omega$ определяется так, что существует оператор расширения $P~:~H^{2}(\Omega )\to H^{2}(\mathbb {R} ^{2})$ такой, что:

• $P$ является ограниченным оператором из $H^{1}(\Omega )$ к $H^{1}(\mathbb {R} ^{2})$;
• $P$ является ограниченным оператором из $H^{2}(\Omega )$ к $H^{2}(\mathbb {R} ^{2})$;
• ограничение на $\Omega$ из $Pu$ равно $u$ для всех $u\in H^{2}(\Omega )$.

Позволять $u\in H^{2}(\Omega )$ быть таким, что $\|u\|_{H^{1}(\Omega )}=1$. Тогда, обозначив через ${\widehat {v}}$ функция, полученная из $v=Pu$ преобразованием Фурье получаем существование $C>0$ только в зависимости от $\Omega$ такой, что:

• $\|(1+|\xi |){\widehat {v}}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C$,
• $\|(1+|\xi |^{2}){\widehat {v}}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|u\|_{H^{2}(\Omega )}$,
• $\|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq \|v\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}$.

Для любого $R>0$, один пишет:

${\begin{aligned}\displaystyle \|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}&=\int _{|\xi |<R}|{\widehat {v}}(\xi )|{\rm {d}}\xi +\int _{|\xi |>R}|{\widehat {v}}(\xi )|{\rm {d}}\xi \\&=\int _{|\xi |<R}(1+|\xi |)|{\widehat {v}}(\xi )|{\frac {1}{1+|\xi |}}{\rm {d}}\xi +\int _{|\xi |>R}(1+|\xi |^{2})|{\widehat {v}}(\xi )|{\frac {1}{1+|\xi |^{2}}}{\rm {d}}\xi \\&\leq C\left(\int _{|\xi |<R}{\frac {1}{(1+|\xi |)^{2}}}{\rm {d}}\xi \right)^{\frac {1}{2}}+C\|u\|_{H^{2}(\Omega )}\left(\int _{|\xi |>R}{\frac {1}{(1+|\xi |^{2})^{2}}}{\rm {d}}\xi \right)^{\frac {1}{2}},\end{aligned}}$

в силу предыдущих неравенств и неравенства Коши-Шварца. Это дает

$\|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C(\log(1+R))^{\frac {1}{2}}+C{\frac {\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}{1+R}}.$

Тогда неравенство доказывается в случае $\|u\|_{H^{1}(\Omega )}=1$, позволяя $R=\|u\|_{H^{2}(\Omega )}$. Для общего случая $u\in H^{2}(\Omega )$ не тождественно равно нулю, достаточно применить это неравенство к функции $u/\|u\|_{H^{1}(\Omega )}$.

Заметив, что для любого $v\in H^{2}(\mathbb {R} ^{2})$, там держится

$\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\bigl (}(\partial _{11}^{2}v)^{2}+2(\partial _{12}^{2}v)^{2}+(\partial _{22}^{2}v)^{2}{\bigr )}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\bigl (}\partial _{11}^{2}v+\partial _{22}^{2}v{\bigr )}^{2},$

из неравенства Брезиса-Галлуэ следует, что существует $C>0$ только в зависимости от $\Omega$ такой, что для всех $u\in H^{2}(\Omega )$ который не равен 0,

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}\left(1+{\Bigl (}\log {\bigl (}1+{\frac {\|\Delta u\|_{L^{2}(\Omega )}}{\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}}{\bigr )}{\Bigr )}^{1/2}\right).$

Предыдущее неравенство близко к тому, как приводится неравенство Брезиса-Галлуэ.

См. также

• Ладыженское неравенство
• Неравенство Агмона