Неравенство Агмона

В математическом анализе неравенства Агмона , названные в честь Шмуэля Агмона , состоят из двух тесно связанных интерполяционных неравенств между пространством Лебега $L^{\infty }$ и пространства Соболева $H^{s}$. Это полезно при изучении уравнений в частных производных .

Позволять $u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$ где $\Omega \subset \mathbb {R} ^{3}$. Тогда неравенства Агмона в 3D утверждают, что существует константа $C$ такой, что

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2},$

и

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}.$

В 2D первое неравенство все еще имеет место, но не второе: пусть $u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$ где $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$. Тогда неравенство Агмона в 2D утверждает, что существует константа $C$ такой, что

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}.$

Для $n$-мерный случай, выберите $s_{1}$ и $s_{2}$ такой, что $s_{1}<{\tfrac {n}{2}}<s_{2}$. Тогда, если $0<\theta <1$ и ${\tfrac {n}{2}}=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2}$, для любого $u\in H^{s_{2}}(\Omega )$

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{s_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{H^{s_{2}}(\Omega )}^{1-\theta }$

См. также

• Ладыженское неравенство
• Неравенство Брезиса – Галлуэ

Ссылки

• Агмон, Шмуэль (2010). Лекции по эллиптическим краевым задачам . Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea. ISBN  978-0-8218-4910-1 .
• Фойас, Киприан; Мэнли, О.; Роза, Р.; Темам, Р. (2001). Уравнения Навье-Стокса и турбулентность . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36032-3 .