Интерполяционное неравенство

В области математического анализа интерполяционное неравенство — это неравенство вида

\|u_{0}\|_{0}\leq C\|u_{1}\|_{1}^{\alpha _{1}}\|u_{2}\|_{2}^{\alpha _{2}}\dots \|u_{n}\|_{n}^{\alpha _{n}},\quad n\geq 2,

где для $0\leq k\leq n$ , $u_{k}$ является элементом некоторого конкретного векторного пространства $X_{k}$ оснащен норм. $\|\cdot \|_{k}$ и $\alpha _{k}$ является некоторой реальной экспонентой, и $C$ является некоторой константой, не зависящей от $u_{0},..,u_{n}$ . Рассматриваемые векторные пространства обычно являются функциональными пространствами , и многие интерполяционные неравенства предполагают $u_{0}=u_{1}=\cdots =u_{n}$ и таким образом связали норму элемента в одном пространстве с комбинацией норм в других пространствах, таких как неравенство Ладыженской и интерполяционное неравенство Гальярдо-Ниренберга , оба из которых приведены ниже. Тем не менее, некоторые важные интерполяционные неравенства включают отдельные элементы. $u_{0},..,u_{n}$ , включая неравенство Гёльдера и неравенство Юнга для сверток, которые также представлены ниже.

Приложения

Основные применения интерполяционных неравенств лежат в таких областях исследования, как уравнения в частных производных , где используются различные функциональные пространства. Важным примером являются пространства Соболева , состоящие из функций, слабые производные которых до некоторого (не обязательно целого) порядка лежат в L ^п пробелы для некоторых p. Там интерполяционные неравенства используются, грубо говоря, для связи производных одного порядка с комбинацией производных других порядков. Их также можно использовать для связывания произведений, сверток и других комбинаций функций, часто с некоторой гибкостью в выборе функционального пространства. Интерполяционные неравенства являются фундаментальными для понятия интерполяционного пространства , такого как пространство $W^{s,p}$ , который, грубо говоря, состоит из функций, $s^{th}$ порядок слабых производных лежит в $L^{p}$ . Интерполяционные неравенства применяются и при работе с пространствами Бесова. $B_{p,q}^{s}(\Omega )$ , которые являются обобщением пространств Соболева. ^{[ 1 ]} Другой класс пространств, допускающих интерполяционные неравенства, — это пространства Гёльдера .

Примеры

Простым примером интерполяционного неравенства, в котором все $u k$ одинаковые $u$ , но нормы $‖\cdot‖ k$ разные, является неравенство Ладыженской для функций $u:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ , который утверждает, что всякий раз, когда $u$ является функцией с компактным носителем такой, что и $u$ , и ее градиент $\nabla u$ интегрируемы с квадратом, из этого следует, что четвертая степень $u$ интегрируема и ^{[ 2 ]}

\int _{\mathbb {R} ^{2}}|u(x)|^{4}\,\mathrm {d} x\leq 2\int _{\mathbb {R} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\int _{\mathbb {R} ^{2}}|\nabla u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x,

то есть

\|u\|_{L^{4}}\leq {\sqrt[{4}]{2}}\,\|u\|_{L^{2}}^{1/2}\,\|\nabla u\|_{L^{2}}^{1/2}.

Немного более слабая форма неравенства Ладыженской применяется в размерности 3, и неравенство Ладыженской на самом деле является частным случаем общего результата, который включает в себя многие интерполяционные неравенства, включающие пространства Соболева, - интерполяционное неравенство Гальярдо-Ниренберга . ^{[ 3 ]}

Следующий пример, допускающий интерполяцию нецелых пространств Соболева, также является частным случаем интерполяционного неравенства Гальярдо-Ниренберга. ^{[ 4 ]} Обозначая $L^{2}$ Sobolev spaces by $H^{k}=W^{k,2}$ , и учитывая действительные числа ${\textstyle 1\leq k<\ell <m}$ и функция $u\in H^{m}$ , у нас есть

$\|u\|_{H^{\ell }}\leq \|u\|_{H^{k}}^{\frac {m-\ell }{m-k}}\|u\|_{H^{m}}^{\frac {\ell -k}{m-k}}.$

Элементарное интерполяционное неравенство для пространств Лебега , являющееся прямым следствием неравенства Гельдера ^{[ 3 ]} читается: для экспонентов $1\leq p\leq r\leq q\leq \infty$ , каждый $f\in L^{p}(X,\mu )\cap L^{q}(X,\mu )$ также находится в $L^{r}(X,\mu ),$ и у одного есть

\|f\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}^{t}\|f\|_{L^{q}}^{1-t},

где в случае $p<q<\infty ,$ $r$ записывается в виде выпуклой комбинации $r=tp+(1-t)q$ , то есть с $t:={\frac {q-r}{q-p}}$ и $1-t={\frac {r-p}{q-p}}$ ; в случае $p<q=\infty$ , $r$ написано как $r={\frac {p}{t}}$ с $t:={\frac {p}{r}}$ и $1-t={\frac {r-p}{r}}.$

Примером интерполяционного неравенства, в котором элементы различаются, является неравенство Юнга для сверток . ^{[ 5 ]} Данные показатели $1\leq p,q,r\leq \infty$ такой, что ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1+{\tfrac {1}{r}}$ и функции $f\in L^{p},\ g\in L^{q}$ , их свертка заключается в $L^{r}$ и

\|f*g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}.

Примеры интерполяционных неравенств

Ссылки

^ ДеВор, Рональд А.; Попов, Василь А. (1988). «Интерполяция пространств Бесова» . Труды Американского математического общества . 305 (1): 397–414. дои : 10.1090/S0002-9947-1988-0920166-3 . ISSN 0002-9947 .
^ Фояс, К.; Мэнли, О.; Роза, Р.; Темам, Р. (2001). Уравнения Навье-Стокса и турбулентность . Энциклопедия математики и ее приложений. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511546754 . ISBN 978-0-521-36032-6 .
^ Jump up to: ^а ^б Эванс, Лоуренс К. (2010). Уравнения в частных производных (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-0-8218-4974-3 . OCLC 465190110 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Брезис, Х. (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных . Х.. Брезис. Нью-Йорк: Спрингер. п. 233. ИСБН 978-0-387-70914-7 . OCLC 695395895 .
^ Леони, Джованни (2017). Первый курс по пространствам Соболева (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-2921-8 . OCLC 976406106 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1] ДеВор, Рональд А.; Попов, Василь А. (1988). «Интерполяция пространств Бесова» . Труды Американского математического общества . 305 (1): 397–414. дои : 10.1090/S0002-9947-1988-0920166-3 . ISSN 0002-9947 .

[2] Фояс, К.; Мэнли, О.; Роза, Р.; Темам, Р. (2001). Уравнения Навье-Стокса и турбулентность . Энциклопедия математики и ее приложений. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511546754 . ISBN 978-0-521-36032-6 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Эванс, Лоуренс К. (2010). Уравнения в частных производных (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-0-8218-4974-3 . OCLC 465190110 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[4] Брезис, Х. (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных . Х.. Брезис. Нью-Йорк: Спрингер. п. 233. ИСБН 978-0-387-70914-7 . OCLC 695395895 .

[5] Леони, Джованни (2017). Первый курс по пространствам Соболева (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-2921-8 . OCLC 976406106 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]