Интерполяционное неравенство Гальярдо – Ниренберга

В математике , и в частности в математическом анализе , интерполяционное неравенство Гальярдо-Ниренберга является результатом теории пространств Соболева , которое связывает $L^{p}$-нормы различных слабых производных функции через интерполяционное неравенство . Теорема имеет особое значение в рамках эллиптических уравнений в частных производных и была первоначально сформулирована Эмилио Гальярдо и Луи Ниренбергом в 1958 году. Неравенство Гальярдо-Ниренберга нашло многочисленные применения при исследовании нелинейных уравнений в частных производных и было обобщено на случай дробные пространства Соболева Хаима Брезиса и Петру Миронеску в конце 2010-х годов.

История

Неравенство Гальярдо-Ниренберга было первоначально предложено Эмилио Гальярдо и Луи Ниренбергом в двух независимых докладах во время Международного конгресса математиков, проходившего в Эдинбурге с 14 августа 1958 года по 21 августа 1958 года. В следующем году оба автора улучшили свои результаты и опубликовали их независимо. Тем не менее полное доказательство неравенства долгое время отсутствовало в литературе. Действительно, в некоторой степени обе оригинальные работы Гальярдо и Ниренберга не содержат полной и строгой аргументации, доказывающей полученный результат. Например, Ниренберг впервые включил неравенство в сборник лекций, прочитанных в Пизе с 1 по 10 сентября 1958 года. Транскрипция лекций была опубликована позже в 1959 году, и автор явно излагает лишь основные этапы доказательства. С другой стороны, доказательство Гальярдо не дало результата в полной общности, т. е. для всех возможных значений параметров, фигурирующих в утверждении. Подробное доказательство во всем евклидовом пространстве было опубликовано в 2021 году.

Несколько математиков работали над доказательством и обобщением неравенств типа Гальярдо-Ниренберга, исходя из его первоначальной формулировки. Итальянский математик Карло Миранда разработал первое обобщение в 1963 году: который был рассмотрен и уточнен Ниренбергом позже в 1966 году. Исследование неравенств типа Гальярдо-Ниренберга продолжалось и в последующие десятилетия. Например, тщательное исследование отрицательных показателей было проведено в продолжение работы Ниренберга в 2018 году. в то время как Брезис и Миронеску охарактеризовали в полной общности вложения между пространствами Соболева, расширяющие неравенство до дробных порядков.

Формулировка неравенства

Для любой расширенной действительной (т. е., возможно, бесконечной) положительной величины $1\leq p\leq +\infty$ и любое целое число $k\geq 1$, позволять $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ обозначаю обычный $L^{p}$ пространства , в то время как $W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})$ обозначает пространство Соболева, состоящее из всех вещественных функций из $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ такие, что все их слабые производные до порядка $k$ также находятся в $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$. Оба семейства пространств должны быть наделены своими стандартными нормами, а именно: $$\|u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}:={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&\quad {\text{if }}p<+\infty ,\\{\underset {\mathbb {R} ^{n}}{\operatorname {ess\,sup} }}\,|u|&\quad {\text{if }}p=+\infty ;\end{cases}}\qquad \qquad \|u\|_{W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:={\begin{cases}\left(\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&\quad {\text{if }}p<+\infty ,\\\ \ \ \displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}&\quad {\text{if }}p=+\infty ;\end{cases}}$$ где $\operatorname {ess\,sup}$ означает существенную супремум . Выше для удобства используются одни и те же обозначения для скалярных, векторных и тензорнозначных пространств Лебега и Соболева.

Исходная версия теоремы для функций, определенных во всем евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$, можно сформулировать следующим образом.

Теорема  (Гальярдо-Ниренберг) — Пусть $1\leq q\leq +\infty$ быть положительной расширенной действительной величиной. Позволять $j$ и $m$ быть неотрицательными целыми числами такими, что $j<m$. Кроме того, пусть $1\leq r\leq +\infty$ быть положительной расширенной действительной величиной, $p\geq 1$ быть настоящим и $\theta \in [0,1]$ такие, что отношения $${\dfrac {1}{p}}={\dfrac {j}{n}}+\theta \left({\dfrac {1}{r}}-{\dfrac {m}{n}}\right)+{\dfrac {1-\theta }{q}},\qquad {\dfrac {j}{m}}\leq \theta \leq 1$$ держать. Затем, $$\|D^{j}u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|D^{m}u\|_{L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}^{\theta }\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{1-\theta }$$ для любого $u\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ такой, что $D^{m}u\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})$, с двумя исключительными случаями:

1. если $j=0$ (при том понимании, что $D^{0}u=u$), $q=+\infty$ и $rm<n$, то необходимо дополнительное предположение: либо $u$ стремится к 0 на бесконечности, или $u\in L^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ для некоторого конечного значения $s$;
2. если $r>1$ и $m-j-{\frac {n}{r}}$ является неотрицательным целым числом, то дополнительное предположение ${\frac {j}{m}}\leq \theta <1$ (обратите внимание на строгое неравенство).

В любом случае константа $C>0$ зависит от параметров $j,\,m,\,n,\,q,\,r,\,\theta$, но не на $u$.

Обратите внимание, что параметр $p$ определяется однозначно всеми остальными и обычно считается конечным. Однако существуют и более резкие формулировки, в которых $p=+\infty$ учитывается (но другие значения могут быть исключены, например $j=0$).

Соответствующие следствия неравенства Гальярдо-Ниренберга

Неравенство Гальярдо-Ниренберга обобщает набор известных результатов в области функционального анализа . Действительно, при подходящем выборе семи параметров, фигурирующих в формулировке теоремы, можно получить несколько полезных и повторяющихся неравенств в теории уравнений в частных производных:

• Теорема вложения Соболева устанавливает существование непрерывных вложений между пространствами Соболева с разными порядками дифференцирования и/или интегрируемости. Его можно получить, используя неравенство Гальярдо-Ниренберга. $\theta =1$ (так что выбор $q$ становится неактуальным, и то же самое касается соответствующего требования $u\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$) и остальные параметры таким образом, чтобы $${\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {j}{n}}={\dfrac {1}{r}}-{\dfrac {m}{n}}$$а остальные гипотезы удовлетворены. Результат читается тогда $$\|D^{j}u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|D^{m}u\|_{L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$$для любого $u$ такой, что $D^{m}u\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})$. В частности, установка $j=0$ и $m=1$ получается, что $p=r^{*}$, а именно сопряженный по Соболеву показатель, $r$, и мы имеем вложение $$W^{1,r}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow L^{r^{*}}(\mathbb {R} ^{n}).$$Обратите внимание, что во вложении выше мы также неявно предполагаем, что $u\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})$ и, следовательно, первый исключительный случай неприменим.
• является Неравенство Ладыженской частным случаем неравенства Гальярдо-Ниренберга. Рассмотрим наиболее распространенные случаи, а именно $n=2$ и $n=3$, мы имеем первый, соответствующий выбору параметра $$j=0,\quad m=1,\quad p=4,\quad q=r=2,\quad \theta ={\frac {1}{2}},$$уступчивость $$\|u\|_{L^{4}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}^{\frac {1}{2}}\|\nabla u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}^{\frac {1}{2}}$$для любого $u\in W^{1,2}(\mathbb {R} ^{2}).$ Константа $C$ является универсальным и может быть доказано $2^{-{\frac {1}{4}}}$. В трех измерениях пространства необходим несколько иной выбор параметров, а именно $$j=0,\quad m=1,\quad p=4,\quad q=r=2,\quad \theta ={\frac {3}{4}},$$уступчивость $$\|u\|_{L^{4}(\mathbb {R} ^{3})}\leq C\|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}^{\frac {1}{4}}\|\nabla u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}^{\frac {3}{4}}$$для любого $u\in W^{1,2}(\mathbb {R} ^{3})$. Здесь оно держится $C=\left({\frac {4{\sqrt {3}}}{9}}\right)^{\frac {3}{4}}$.
• Неравенство Нэша, опубликованное Джоном Нэшем в 1958 году, является еще одним результатом, обобщенным неравенством Гальярдо-Ниренберга. Действительно, выбирая $$j=0,\quad m=1,\quad n\geq 1,\quad p=2,\quad q=1,\quad r=2,\quad \theta ={\frac {n}{n+2}},$$каждый получает $$\|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {2}{n+2}}\|\nabla u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {n}{n+2}}$$который часто переводится как $$\|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{1+{\frac {2}{n}}}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {2}{n}}\|\nabla u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$$или его квадратная версия.

Доказательство неравенства Гальярдо-Ниренберга.

Полное и подробное доказательство неравенства Гальярдо-Ниренберга долгое время отсутствовало в литературе с момента его первых формулировок. Действительно, в обеих оригинальных работах Гальярдо и Ниренберга отсутствовали некоторые детали или даже были представлены лишь основные этапы доказательства.

Самый деликатный момент касается предельного случая ${\textstyle \theta ={\frac {j}{m}}}$. Чтобы избежать двух исключительных случаев, мы далее предполагаем, что $r$ конечно и что $u\in W^{m,r}(\mathbb {R} ^{n})$, так что в частности $u\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})$. Ядро доказательства основано на двух доказательствах по индукции .

показывать Эскиз доказательства неравенства Гальярдо-Ниренберга

Throughout the proof, given $j$ and $m$, we shall assume that ${\textstyle \theta ={\frac {j}{m}}}$. A double induction argument is applied to the couple of integers $(j,m)$, representing the orders of differentiation. The other parameters are constructed in such a way that they comply with the hypotheses of the theorem. As base case, we assume that the Gagliardo-Nirenberg inequality holds for $j=1$ and $m=2$ (hence ${\textstyle \theta ={\frac {1}{2}}}$). Here, in order for the inequality to hold, the remaining parameters should satisfy $${\dfrac {2}{p}}={\dfrac {1}{r}}+{\dfrac {1}{q}},\qquad n\geq 1.$$ The first induction step goes as follows. Assume the Gagliardo-Nirenberg inequality holds for some $m=m^{\star }\in \mathbb {N}$ strictly greater than $1$ and $j=1$ (hence ${\textstyle \theta ={\frac {1}{m^{\star }}}}$). We are going to prove that it also holds for $m=m^{\star }+1$ and $j=1$ (with ${\textstyle \theta ={\frac {1}{m^{\star }+1}}}$). To this end, the remaining parameters $n,\,p,\,q,\,r$ necessarily satisfy $${\dfrac {1}{p}}={\dfrac {\frac {1}{m^{\star }+1}}{r}}+{\dfrac {\frac {m^{\star }}{m^{\star }+1}}{q}},\qquad n\geq 1.$$ Fix them as such. Then, let $s>0$ be such that $${\dfrac {2}{p}}={\dfrac {1}{s}}+{\dfrac {1}{q}}.$$ From the base case, we can infer that $$\|\nabla u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|D^{2}u\|_{L^{s}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {1}{2}}\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {1}{2}}.$$ Now, from the two relations between the parameters, through some algebraic manipulations we arrive at $${\dfrac {1}{s}}={\dfrac {\frac {1}{m^{\star }}}{r}}+{\dfrac {\frac {m^{\star }-1}{m^{\star }}}{p}},\qquad n\geq 1,$$ therefore the inequality with $m=m^{\star }$ applied to $\nabla u$ implies $$\|D^{2}u\|_{L^{s}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|D^{m^{\star }+1}u\|_{L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {1}{m^{\star }}}\|\nabla u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {m^{\star }-1}{m^{\star }}}.$$ The two inequalities imply the sought Gagliardo-Nirenberg inequality, namely $$\|\nabla u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|D^{m^{\star }+1}u\|_{L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {1}{m^{\star }+1}}\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {m^{\star }}{m^{\star }+1}},$$ The second induction step is similar, but allows $j$ to change. Assume the Gagliardo-Nirenberg inequality holds for some pair $(j^{\star },m^{\star })\in \mathbb {N} ^{2}$ with $j^{\star }<m^{\star }$ (hence ${\textstyle \theta ={\frac {j^{\star }}{m^{\star }}}}$). It is enough to prove that it also holds for $m=m^{\star }+1$ and $j=j^{\star }+1$ (with ${\textstyle \theta ={\frac {j^{\star }+1}{m^{\star }+1}}}$). Again, fix the parameters $n,\,p,\,q,\,r$ in such a way that $${\dfrac {1}{p}}={\dfrac {\frac {j^{\star }+1}{m^{\star }+1}}{r}}+{\dfrac {\frac {m^{\star }-j^{\star }}{m^{\star }+1}}{q}},\qquad n\geq 1,$$ and let $t$ be such that $${\dfrac {1}{p}}={\dfrac {\frac {j^{\star }}{m^{\star }}}{r}}+{\dfrac {\frac {m^{\star }-j^{\star }}{m^{\star }}}{t}}.$$ The inequality with $j=j^{\star }$ and $m=m^{\star }$ applied to $\nabla u$ entails $$\|D^{j^{\star }+1}u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|D^{m^{\star }+1}u\|_{L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {j^{\star }}{m^{\star }}}\|\nabla u\|_{L^{t}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {m^{\star }-j^{\star }}{m^{\star }}}.$$ Since, by the first induction step, we can assume the Gagliardo-Nirenberg inequality holds with $m=j^{\star }+1$ and $j=1$, we get $$\|\nabla u\|_{L^{t}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|D^{j^{\star }+1}u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {1}{j^{\star }+1}}\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {j^{\star }}{j^{\star }+1}}.$$ The proof is completed by combining the two inequalities. In order to prove the base case, several technical lemmas are necessary, while the remaining values of $\theta$ can be recovered by interpolation and a proof can be found, for instance, in the original work of Nirenberg.

Неравенство Гальярдо-Ниренберга в ограниченных областях

Во многих задачах теории уравнений в частных производных приходится иметь дело с функциями, областью определения которых не является все евклидово пространство. $\mathbb {R} ^{n}$, а некое заданное ограниченное, открытое и связное множество $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}.$ В дальнейшем мы также предполагаем, что $\Omega$ имеет конечную меру Лебега и удовлетворяет условию конуса (к ним относятся широко используемые области Липшица ). И Гальярдо, и Ниренберг обнаружили, что их теорему можно распространить на этот случай, добавив в правую часть штрафной член. Именно так,

Теорема  (Гальярдо-Ниренберг в ограниченных областях) — Пусть $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ быть измеримой, ограниченной, открытой и связной областью, удовлетворяющей условию конуса. Позволять $1\leq q\leq +\infty$ быть положительной расширенной действительной величиной. Позволять $j$ и $m$ быть неотрицательными целыми числами такими, что $j<m$. Кроме того, пусть $1\leq r\leq +\infty$ быть положительной расширенной действительной величиной, $p\geq 1$ быть настоящим и $\theta \in [0,1]$ такие, что отношения $${\dfrac {1}{p}}={\dfrac {j}{n}}+\theta \left({\dfrac {1}{r}}-{\dfrac {m}{n}}\right)+{\dfrac {1-\theta }{q}},\qquad {\dfrac {j}{m}}\leq \theta \leq 1$$ держать. Затем, $$\|D^{j}u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|D^{m}u\|_{L^{r}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{L^{q}(\Omega )}^{1-\theta }+C\|u\|_{L^{\sigma }(\Omega )}$$ где $u\in L^{q}(\Omega )$ такой, что $D^{m}u\in L^{r}(\Omega )$ и $\sigma$ является произвольным, за одним исключительным случаем:

1. если $r>1$ и $m-j-{\frac {n}{r}}$ является неотрицательным целым числом, то дополнительное предположение ${\frac {j}{m}}\leq \theta <1$ (обратите внимание на строгое неравенство).

В любом случае константа $C>0$ зависит от параметров $j,\,m,\,n,\,q,\,r,\,\theta$, в домене $\Omega$, но не на $u$.

Необходимость иной формулировки по делу $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ доказать это довольно просто. Действительно, поскольку $\Omega$ имеет конечную меру Лебега, любая аффинная функция принадлежит $L^{p}(\Omega )$ для каждого $p$ (включая $p=+\infty$). Конечно, это справедливо гораздо больше: аффинные функции принадлежат $C^{\infty }(\Omega )$ и все их производные порядка больше или равного двум тождественно равны нулю в $\Omega$. Легко видеть, что неравенство Гальярдо-Ниренберга для случая $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ не может быть верным для любой непостоянной аффинной функции, поскольку противоречие немедленно достигается, когда $j=1$ и $m\geq 2$ , и поэтому, вообще говоря, не может выполняться для интегрируемых функций, определенных в ограниченных областях.

При этом при несколько более сильных предположениях можно переформулировать теорему таким образом, чтобы член штрафа «поглощался» первым членом в правой части. Действительно, если $u\in L^{q}(\Omega )\cap W^{m,r}(\Omega )$, то можно выбрать $\sigma =\min(r,q)$ и получить $${\begin{aligned}\|D^{j}u\|_{L^{p}(\Omega )}&\leq C\|D^{m}u\|_{L^{r}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{L^{q}(\Omega )}^{1-\theta }+C\|u\|_{L^{\min(r,q)}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{L^{\min(r,q)}(\Omega )}^{1-\theta }\\&\leq C\|u\|_{W^{m,r}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{L^{q}(\Omega )}^{1-\theta }.\end{aligned}}$$Эта формулировка имеет то преимущество, что восстанавливает структуру теоремы в полном евклидовом пространстве, с той лишь оговоркой, что полунорма Соболева заменяется полной $W^{m,r}$-норм. По этой причине неравенство Гальярдо-Ниренберга в ограниченных областях обычно формулируется именно так.

Наконец, заметим, что первый исключительный случай, возникающий в формулировке неравенства Гальярдо-Ниренберга для всего пространства, больше не актуален в ограниченных областях, поскольку для множеств с конечной мерой имеем $L^{\infty }(\Omega )\hookrightarrow L^{\rho }(\Omega )$ для любого конечного $\rho \geq 1.$

Обобщение на нецелые порядки

Проблема интерполяции различных пространств Соболева была решена в полной общности Хаимом Брезисом и Петру Миронеску в двух работах, датированных 2018 и 2019 годами. При этом их результаты не зависят от размерности $n$ и разрешить реальные значения $j$ и $m$, а не целое число. Здесь, $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ является либо полным пространством, либо полупространством, либо ограниченной и липшицевой областью. Если $s\in (0,1)$ и $p\geq 1$ — это расширенная действительная величина, пространство $W^{s,p}(\Omega )$ определяется следующим образом $$W^{s,p}(\Omega ):={\begin{cases}\left\{u\in L^{p}(\Omega ):{\dfrac {|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{s+{\frac {n}{p}}}}}\in L^{p}(\Omega \times \Omega )\right\}&\quad {\text{if }}p<+\infty ,\\\left\{u\in L^{\infty }(\Omega ):{\dfrac {|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{s}}}\in L^{\infty }(\Omega \times \Omega )\right\}&\quad {\text{if }}p=+\infty ;\\\end{cases}}\qquad \|u\|_{W^{s,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\|u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\displaystyle \int _{\Omega }\int _{\Omega }{\dfrac {|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{n+sp}}}\right)^{\frac {1}{p}}&\quad {\text{if }}p<+\infty ,\\\|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}+\left\|{\dfrac {u(x)-u(y)}{(x-y)^{s}}}\right\|_{L^{\infty }(\Omega \times \Omega )}&\quad {\text{if }}p=+\infty ;\end{cases}}$$и если $s\geq 1$ мы устанавливаем $$W^{s,p}(\Omega ):=\{u\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):D^{\lfloor s\rfloor }u\in W^{\{s\},p}(\Omega )\},\qquad \|u\|_{W^{s,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\|u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|D^{\lfloor s\rfloor }u\|_{W^{\{s\},p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&\quad {\text{if }}p<+\infty ,\\\|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}+\|D^{\lfloor s\rfloor }u\|_{W^{\{s\},\infty }(\Omega )}&\quad {\text{if }}p=+\infty ;\end{cases}}$$где $\lfloor s\rfloor$ и $\{s\}$ обозначают числа целую и части дробную $s$соответственно, т.е. $s=\lfloor s\rfloor +\{s\}$. В этом определении имеется понимание того, что $W^{0,p}(\Omega )=L^{p}(\Omega )$, так что обычные пространства Соболева восстанавливаются всякий раз, когда $s$ является положительным целым числом. Эти пространства часто называют дробными пространствами Соболева. Обобщение неравенства Гальярдо-Ниренберга на эти пространства гласит:

Теорема  (Брезис-Миронеску) — лейтенант $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ быть либо всем пространством, либо полупространством, либо ограниченной липшицевой областью. Позволять $1\leq p,\,p_{1},\,p_{2}\leq +\infty$ — три положительные расширенные действительные величины, и пусть $s,\,s_{1},\,s_{2}$ быть неотрицательными действительными числами. Кроме того, пусть $\theta \in (0,1)$ и предположим, что $$s_{1}\leq s_{2},\qquad s=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2},\qquad {\dfrac {1}{p}}={\dfrac {\theta }{p_{1}}}+{\dfrac {1-\theta }{p_{2}}}$$ держать. Затем, $$\|u\|_{W^{s,p}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{s_{1},p_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{W^{s_{2},p_{2}}(\Omega )}^{1-\theta }$$ для любого $u\in W^{s_{1},p_{1}}(\Omega )\cap W^{s_{2},p_{2}}(\Omega )$ тогда и только тогда, когда $${\text{at least one of}}\quad {\begin{cases}s_{2}\in \mathbb {N} {\text{ and }}s_{2}\geq 1,\\p_{2}=1,\\0<s_{2}-s_{1}\leq 1-\displaystyle {\dfrac {1}{p_{1}}}\end{cases}}\quad {\text{is false.}}$$ Константа $C>0$ зависит от параметров $p,\,p_{1},\,p_{2},\,s,\,s_{1},\,s_{2},\,\theta$, в домене $\Omega$, но не на $u$.

Например, выбор параметра $$p={\dfrac {8}{3}},\quad p_{1}=2,\quad p_{2}=4,\quad s={\dfrac {7}{12}},\quad s_{1}={\dfrac {1}{2}},\quad s_{2}={\dfrac {2}{3}},\quad \theta ={\dfrac {1}{2}}$$дает оценку $$\|u\|_{W^{{\frac {7}{12}},{\frac {8}{3}}}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{{\frac {1}{2}},2}(\Omega )}^{\frac {1}{2}}\|u\|_{W^{{\frac {2}{3}},4}(\Omega )}^{\frac {1}{2}}.$$Справедливость оценки подтверждается, например, тем фактом, что $p_{2}\neq 1$.

См. также

• Метрика (математика)
• Функциональный анализ
• Функциональное пространство