Неравенство Ландау–Колмогорова.

В математике неравенство Ландау –Колмогорова , названное в честь Эдмунда Ландау и Андрея Колмогорова , представляет собой следующее семейство интерполяционных неравенств между различными производными функции f, определенной на подмножестве T действительных чисел:

$\|f^{(k)}\|_{L_{\infty }(T)}\leq C(n,k,T){\|f\|_{L_{\infty }(T)}}^{1-k/n}{\|f^{(n)}\|_{L_{\infty }(T)}}^{k/n}{\text{ for }}1\leq k<n.$

На реальной линии

Для k = 1, n = 2 и T = [ c ,∞) или T = R неравенство было впервые доказано Эдмундом Ландау. с точными константами C (2, 1, [ c ,∞)) = 2 и C (2, 1, R ) = √2. Следуя вкладам Жака Адамара и Георгия Шилова , Андрей Колмогоров нашел точные константы и произвольные n , k :

$C(n,k,\mathbb {R} )=a_{n-k}a_{n}^{-1+k/n}~,$

где n _— константы Фавара .

На полулинии

После работы Маторина и других экстремистские функции были найдены Исааком Якобом Шенбергом . Однако явные формы точных констант до сих пор неизвестны.

Обобщения

Существует множество обобщений, которые имеют вид

$\|f^{(k)}\|_{L_{q}(T)}\leq K\cdot {\|f\|_{L_{p}(T)}^{\alpha }}\cdot {\|f^{(n)}\|_{L_{r}(T)}^{1-\alpha }}{\text{ for }}1\leq k<n.$

Здесь все три нормы могут отличаться друг от друга (от L ₁ до L _∞ , при этом p = q = r = ∞ в классическом случае), а T может быть вещественной осью, полуосью или замкнутым отрезком.

Неравенство Каллмана -Рота обобщает неравенства Ландау-Колмогорова от оператора производной до более общих сокращений в банаховых пространствах .

Примечания

→