Пересечение линии и цилиндра

Пересечение линии и цилиндра — это расчет любых точек пересечения с учетом геометрии аналитического описания линии и цилиндра в трехмерном пространстве.

Произвольная линия и цилиндр могут вообще не иметь пересечения. Или может быть одна или две точки пересечения. ^[1] Или линия может лежать вдоль поверхности цилиндра параллельно его оси, что приводит к бесконечному множеству точек пересечения. Описанный здесь метод различает эти случаи и, если пересечения существуют, вычисляет их положения.

Термин «цилиндр» может относиться к трехмерному телу или, как в этой статье, только к изогнутой внешней поверхности твердого тела. Вот почему считается, что линия, пронизывающая объем цилиндра, имеет две точки пересечения: точку на поверхности, где она входит, и ту, где она выходит. См. § торцевые заглушки .

Основная идея такого рода задачи пересечения состоит в том, чтобы представить каждую фигуру в виде уравнения, справедливого для всех точек фигуры. Решая их как систему двух одновременных уравнений, находятся точки, принадлежащие обеим формам, что является пересечением. Приведенные ниже уравнения были решены с использованием Maple .

Этот метод находит применение в вычислительной геометрии , графическом рендеринге , моделировании форм , физическом моделировании и связанных с ним типах вычислительного 3D-моделирования. Это привело к различным реализациям. ^[2]^[3]^[4] Этот метод тесно связан с пересечением линии и сферы .

Уравнение цилиндра, без торцевых крышек

Позволять ${\bar {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})$ быть основанием цилиндра (или одной конечной точкой), ${\hat {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$ быть единичным вектором оси цилиндра,радиус цилиндра $r$ и высота (или длина оси) $h$ . Цилиндр может иметь любую ориентацию.

Уравнение бесконечного цилиндра можно записать в виде

\lVert {\hat {a}}\times ({\bar {p}}-{\bar {b}})\rVert =r

где ${\bar {p}}=(x,\ y,\ z)$ любая точка на поверхности цилиндра. Уравнение просто утверждает, что точки ${\bar {p}}$ находятся точно на евклидовом расстоянии $r$ от оси ${\hat {a}}$ начиная с точки ${\bar {b}}$ , где $r$ измеряется в единицах $\lVert {\hat {a}}\rVert$ . Обратите внимание, что $\lVert {\hat {a}}\rVert =1$ если ${\hat {a}}$ является единичным вектором. Поскольку обе части уравнения всегда положительны или равны нулю, мы можем возвести его в квадрат и исключить операцию извлечения квадратного корня из евклидовой нормы в левой части:

{\lVert {\hat {a}}\times ({\bar {p}}-{\bar {b}})\rVert }^{2}=r^{2}

Точка ${\bar {p}}$ находится на расстоянии со знаком

t={\hat {a}}\cdot ({\bar {p}}-{\bar {b}})

от основания вдоль оси. Следовательно, два уравнения, определяющие цилиндр, исключая торцевые крышки, имеют вид

{\lVert {\hat {a}}\times ({\bar {p}}-{\bar {b}})\rVert }^{2}=r^{2}

0\leq {\hat {a}}\cdot ({\bar {p}}-{\bar {b}})\leq h

Линия

Позволять ${\bar {p}}={\hat {n}}d$ быть линией, проходящей через начало координат, ${\hat {n}}$ будучи единичным вектором,и $d$ расстояние от начала координат.

Если ваша линия проходит не через начало координат, а через точку ${\bar {o}}$ , т.е. ваша линия ${\bar {o}}+{\hat {n}}d$ ,заменять ${\bar {b}}$ с $({\bar {b}}-{\bar {o}})$ повсюду; расстояние $d$ тогда расстояние от ${\bar {o}}$ .

Проблема с перекрёстком

Пересечение прямой и цилиндра есть

{\lVert {\hat {a}}\times ({\hat {n}}d-{\bar {b}})\rVert }^{2}=r^{2}

0\leq t\leq h

где расстояние со знаком вдоль оси $t$ является

t={\hat {a}}\cdot ({\hat {n}}d-{\bar {b}})

Решение

Перестановка первого уравнения дает квадратное уравнение для $d$ . Решив это для $d$ дает

d={\frac {({\hat {n}}\times {\hat {a}})\cdot ({\bar {b}}\times {\hat {a}})\pm {\sqrt {({\hat {n}}\times {\hat {a}})\cdot ({\hat {n}}\times {\hat {a}})r^{2}-({\hat {a}}\cdot {\hat {a}})({\bar {b}}\cdot ({\hat {n}}\times {\hat {a}}))^{2}}}}{({\hat {n}}\times {\hat {a}})\cdot ({\hat {n}}\times {\hat {a}})}}

где $({\hat {a}}\cdot {\hat {a}})=1$ если ${\hat {a}}$ является единичным вектором. Если

\lVert {\hat {n}}\times {\hat {a}}\rVert =0

линия параллельна оси и пересечения нет, либо пересечение представляет собой прямую. Если

({\hat {n}}\times {\hat {a}})\cdot ({\hat {n}}\times {\hat {a}})r^{2}-({\hat {a}}\cdot {\hat {a}})({\bar {b}}\cdot ({\hat {n}}\times {\hat {a}}))^{2}<0

линия не пересекает цилиндр.

Решение $d$ дает только расстояние, на котором линия пересекает бесконечный цилиндр. Чтобы увидеть, происходит ли пересечение внутри детали, которую мы считаем реальным цилиндром, нам нужно проверить, соответствует ли расстояние со знаком $t$ от основания цилиндра ${\bar {b}}$ вдоль оси ${\hat {a}}$ до перекрестка ${\bar {p}}={\hat {n}}d$ находится в пределах нуля, а длина цилиндра:

0\leq t\leq h

где $t$ все еще

t={\hat {a}}\cdot ({\hat {n}}d-{\bar {b}})

Торцевые заглушки

Вышеупомянутое предполагает, что цилиндр не имеет торцевых крышек; их необходимо проверять отдельно.Предполагается, что шов, где торцевая крышка соединяется с цилиндром, принадлежит цилиндру и исключается из торцевой крышки.

Полусферические торцевые заглушки

Полусферические торцевые крышки представляют собой просто полусферы на обоих концах цилиндра. Этот объект иногда называют капсулой,или, возможно, сфера с линейной стреловидностью фиксированного радиуса.

Высота цилиндра $h$ не включает торцевые заглушки. Если $H$ - высота цилиндра, включая обе полусферические торцевые крышки, тогда $h=H-2r$ .

Проверьте, есть ли линия ${\bar {p}}={\hat {n}}d$ пересекаетлюбая сфера: центр ${\bar {c}}={\bar {b}}$ или ${\bar {c}}={\bar {b}}+{\hat {a}}h$ и радиус $r$ :

d={\hat {n}}\cdot {\bar {c}}\pm {\sqrt {({\hat {n}}\cdot {\bar {c}})^{2}+r^{2}-({\bar {c}}\cdot {\bar {c}})}}

Если

({\hat {n}}\cdot {\bar {c}})^{2}+r^{2}-({\bar {c}}\cdot {\bar {c}})<0

линия не пересекает сферу торца.

Если есть решения $d$ , примите только те, которые попадают в фактическую полусферу торцевой крышки:

-r\leq t<0

или

h<t\leq h+r

где, еще раз,

t={\hat {a}}\cdot ({\hat {n}}d-{\bar {b}})

Плоские торцевые заглушки

Плоские торцевые заглушки представляют собой круглые области, радиус $r$ , в плоскостях с центром ${\bar {c}}={\bar {b}}$ и ${\bar {c}}={\bar {b}}+{\hat {a}}h$ , с единичными нормальными векторами $-{\hat {a}}$ и ${\hat {a}}$ , соответственно. Линия ${\hat {n}}d$ пересекает плоскость тогда и только тогда, когда

({\hat {n}}d-{\bar {c}})\cdot {\hat {a}}=0

Решение d простое:

d={\frac {{\hat {a}}\cdot {\bar {c}}}{{\hat {a}}\cdot {\hat {n}}}}

Обратите внимание, что если

{\hat {a}}\cdot {\hat {n}}=0

линия параллельна плоскости торцевой крышки (а также перпендикулярна оси цилиндра). Наконец, тогда и только тогда, когда

({\hat {n}}d-{\bar {c}})\cdot ({\hat {n}}d-{\bar {c}})<r^{2}

точка пересечения ${\hat {n}}d$ находится внутри фактической торцевой крышки (круглой области в плоскости).

Единичный вектор нормали в точке пересечения

Одно из многих применений этого алгоритма — трассировка лучей , где вектор нормали единичного цилиндра ${\hat {v}}$ на перекрестке ${\hat {n}}d$ необходим для преломленных и отраженных лучей и освещения.

В приведенных ниже уравнениях используется расстояние со знаком $t$ до точки пересечения ${\hat {n}}d$ с базы ${\bar {b}}$ вдоль оси ${\hat {a}}$ , что всегда

t={\hat {a}}\cdot ({\hat {n}}d-{\bar {b}})

Для поверхности цилиндра (без учета торцевых крышек, но включая шов) $0\leq t\leq h$ :

{\hat {v}}={\frac {{\hat {n}}d-{\hat {a}}t-{\bar {b}}}{\lVert {\hat {n}}d-{\hat {a}}t-{\bar {b}}\rVert }}

Для сферической торцевой крышки у основания $-r\leq t<0$ :

{\hat {v}}={\frac {{\hat {n}}d-{\bar {b}}}{r}}

для сферической торцевой крышки на другом конце, $h<t\leq h+r$ :

{\hat {v}}={\frac {{\hat {n}}d-{\bar {b}}-{\hat {a}}h}{r}}

Для плоской торцевой крышки у основания $t=0$ :

{\hat {v}}=-{\hat {a}}

для плоской торцевой крышки на другом конце, $t=h$ :

{\hat {v}}={\hat {a}}

См. также

Ссылки

^ Нарриен, Джон (1846). «Глава VI». Аналитическая геометрия со свойствами конических сечений . Лондон: Лонгман, Браун, Грин и Лонгманс. п. 156 . Проверено 12 декабря 2023 г. ...Таким образом, прямая линия может пересечь кривую поверхность второго порядка только в двух точках...
^ Шэне, Чинг-Куанг (1994). «Вычисление пересечения прямой и цилиндра (Глава V.1)» . В Хекберте, Поле (ред.). Графические драгоценные камни IV . AP Professional, Бостон. стр. 353–355. ISBN 9780123361561 . Проверено 12 декабря 2023 г.
^ Цихош, Джозеф М.; Ваггенспак, Уоррен Н. младший (1994). «Пересечение луча с цилиндром (глава V.2)» . В Хекберте, Поле (ред.). Графические драгоценные камни IV . AP Professional, Бостон. стр. 356–365. ISBN 9780123361561 . Проверено 12 декабря 2023 г.
^ Хелд, Мартин (1997). «ERIT — сборник эффективных и надежных тестов пересечений». Журнал графических инструментов . 2 (4): 25–44. дои : 10.1080/10867651.1997.10487482 .

Внешние ссылки

Сборники методов пересечений для вычислительной геометрии:
- Пересечения (страница ресурсов по трассировке лучей) Эрика Хейнса , таблица ссылок для многих расчетов пересечений, включая лучевой цилиндр.
- коллекция пересекающихся лучей-поверхностей для шейдеров графического процессора от Inigo Quilez, включая ray-cylinder.
Выводы, которые требуют, чтобы цилиндр находился в ограниченной ориентации:
- пересечение линии и цилиндра Йоханнеса Бюхнера в сборнике формул пересечения линий
- Пересечение линии и цилиндра — в IllusionCatalyst
- Пересечение линейных цилиндров на сайте Mathematics Stack Exchange (math.stackexchange.com)
Частичное решение:
- Вычисление точек пересечения луча и цилиндра на Mathematics Stack Exchange (math.stackexchange.com)

[1] Нарриен, Джон (1846). «Глава VI». Аналитическая геометрия со свойствами конических сечений . Лондон: Лонгман, Браун, Грин и Лонгманс. п. 156 . Проверено 12 декабря 2023 г. ...Таким образом, прямая линия может пересечь кривую поверхность второго порядка только в двух точках...

[2] Шэне, Чинг-Куанг (1994). «Вычисление пересечения прямой и цилиндра (Глава V.1)» . В Хекберте, Поле (ред.). Графические драгоценные камни IV . AP Professional, Бостон. стр. 353–355. ISBN 9780123361561 . Проверено 12 декабря 2023 г.

[3] Цихош, Джозеф М.; Ваггенспак, Уоррен Н. младший (1994). «Пересечение луча с цилиндром (глава V.2)» . В Хекберте, Поле (ред.). Графические драгоценные камни IV . AP Professional, Бостон. стр. 356–365. ISBN 9780123361561 . Проверено 12 декабря 2023 г.

[4] Хелд, Мартин (1997). «ERIT — сборник эффективных и надежных тестов пересечений». Журнал графических инструментов . 2 (4): 25–44. дои : 10.1080/10867651.1997.10487482 .

[1]

[2]

[3]

[4]