Толщина пограничного слоя

На этой странице описаны некоторые параметры, используемые для характеристики толщины и формы пограничных слоев , образуемых жидкостью, текущей вдоль твердой поверхности. Определяющей характеристикой течения пограничного слоя является то, что у твердых стенок скорость жидкости снижается до нуля. Пограничный слой представляет собой тонкий переходный слой между стенкой и объемным потоком жидкости. Концепция пограничного слоя была первоначально разработана Людвигом Прандтлем. и в целом подразделяется на два типа: ограниченные и неограниченные. Различающее свойство между ограниченными и неограниченными пограничными слоями заключается в том, находится ли на пограничный слой существенное влияние более чем одной стены. Каждый из основных типов имеет ламинарный , переходный и турбулентный подтипы. Два типа пограничных слоев используют схожие методы для описания толщины и формы переходной области, за некоторыми исключениями, подробно описанными в разделе «Неограниченный пограничный слой». Характеристики, подробно описанные ниже, учитывают установившийся поток, но их легко расширить до нестационарного потока.

Описание ограниченного пограничного слоя

Ограниченные пограничные слои — это название, используемое для обозначения течения жидкости вдоль внутренней стенки, при котором другие внутренние стенки оказывают воздействие давления на поток жидкости вдоль рассматриваемой стенки. Определяющей характеристикой этого типа пограничного слоя является то, что профиль скорости, нормальный к стенке, часто плавно асимптотируется до постоянного значения скорости, обозначаемого как ( _ue x ) . Концепция ограниченного пограничного слоя изображена для стационарного потока, входящего в нижнюю половину двумерного канала тонкой плоской пластины высотой H на рисунке 1 (поток и пластина простираются в положительном/отрицательном направлении, перпендикулярном плоскости xy ). Примеры такого типа течения в пограничном слое встречаются при течении жидкости через большинство труб, каналов и аэродинамических труб. Двумерный канал, изображенный на рисунке 1, является стационарным, жидкость течет вдоль внутренней стенки со средней по времени скоростью u ( x , y ), где x — направление потока, а y — нормаль к стенке. Пунктирная линия H /2 добавлена ​​для подтверждения того , что это ситуация с потоком внутри трубы или канала и что над изображенной нижней стенкой расположена верхняя стенка. На рисунке 1 показано поведение потока для Значения H , превышающие максимальную толщину пограничного слоя, но меньше толщины, при которой поток начинает вести себя как внешний поток. Если расстояние от стенки до стенки H меньше толщины вязкого пограничного слоя, то профиль скорости, определяемый как u ( x , y ) в точке x для всех y , принимает параболический профиль в y направлении и Толщина пограничного слоя составляет всего H /2.

У твердых стенок пластины жидкость имеет нулевую скорость ( граничное условие прилипания ), но по мере удаления от стенки скорость потока увеличивается без возникновения пика, а затем приближается к постоянной средней скорости u _e ( x ) . Эта асимптотическая скорость может меняться или не меняться вдоль стенки в зависимости от геометрии стенки. Точкой, в которой профиль скорости существенно достигает асимптотической скорости, является толщина пограничного слоя. Толщина пограничного слоя изображена на рисунке 1 изогнутой пунктирной линией, начинающейся у входа в канал. Невозможно определить точное место, в котором профиль скорости достигает асимптотической скорости. В результате ряд параметров толщины пограничного слоя, обычно обозначаемых как $\delta (x)$, используются для описания характерных масштабов толщины в области пограничного слоя. Также представляет интерес форма профиля скорости, которая помогает отличить ламинарные течения от турбулентных в пограничном слое. Форма профиля относится к y -поведению профиля скорости при переходе к u _e ( x ).

входящий в нижнюю половину двумерного канала с расстоянием между пластинами H. Рисунок 1: Схематический рисунок, изображающий поток жидкости , Поток и канал простираются перпендикулярно плоскости xy .

Толщина пограничного слоя 99%

Толщина пограничного слоя, $\delta$, — расстояние по нормали к стенке до точки, где скорость потока практически достигла «асимптотической» скорости, $u_{e}$. До разработки метода моментов отсутствие очевидного метода определения толщины пограничного слоя привело к тому, что большая часть сообщества потоков во второй половине 1900-х годов приняла местоположение $y_{99}$, обозначенный как $\delta _{99}$ и предоставлено

$u(x,y_{99})=0.99u_{e}(x)\quad ,$

как толщина пограничного слоя.

Для ламинарного течения пограничного слоя по плоскому каналу пластины, поведение которого соответствует условиям решения Блазиуса , $\delta _{99}$ значение близко аппроксимируется

$\delta _{99}(x)\approx 5.0{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}=5.0{x \over {\sqrt {\mathrm {Re} _{x}}}}\quad ,$

где $u_{e}\approx u_{0}$ постоянно, и где

$\mathrm {Re} _{x}$ это число Рейнольдса ,

$u_{0}$ - скорость набегающего потока,

$u_{e}$ - асимптотическая скорость,

$x$ – расстояние вниз по течению от начала пограничного слоя, а

$\nu$ – кинематическая вязкость.

Для турбулентных пограничных слоев вдоль плоского канала пластины толщина пограничного слоя $\delta$, определяется

$\delta (x)\approx 0.37{x \over {\mathrm {Re} _{x}}^{1/5}}\quad .$

Эта формула толщины турбулентного пограничного слоя предполагает, что 1) поток является турбулентным с самого начала пограничного слоя и 2) турбулентный пограничный слой ведет себя геометрически аналогичным образом. (т.е. профили скорости геометрически подобны наряду с потоком в направлении x, отличаясь только параметрами масштабирования в $y$ и $u(x,y)$). Ни одно из этих предположений не верно для общего случая турбулентного пограничного слоя, поэтому при применении этой формулы необходимо проявлять осторожность.

Толщина смещения

Толщина смещения, $\delta _{1}$ или $\delta ^{*}$, — нормальное расстояние до базовой плоскости, представляющей нижний край гипотетической невязкой жидкости с постоянной скоростью. $u_{e}$ которая имеет такую ​​же скорость течения, как и в реальной жидкости с пограничным слоем.

Толщина смещения существенно изменяет форму тела, погруженного в жидкость, чтобы в принципе обеспечить невязкое решение, если толщины смещения были известны априори .

Определение толщины смещения для сжимаемого потока на основе массового расхода:

${\delta _{1}(x)}=\int _{0}^{H/2}{\left(1-{\rho (x,y)u(x,y) \over \rho _{e}u_{e}(x)}\right)\,\mathrm {d} y}\quad ,$

где $\rho (x,y)$ это плотность. Для несжимаемого потока плотность постоянна, поэтому определение, основанное на объемном расходе, становится

${\delta _{1}(x)}=\int _{0}^{H/2}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\,\mathrm {d} y}\quad .$

Для расчета турбулентного пограничного слоя используются усредненные по времени плотность и скорость.

Для ламинарного течения пограничного слоя вдоль плоской пластины, поведение которого соответствует условиям решения Блазиуса , толщина смещения равна

$\delta _{1}(x)\approx 1.72{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\quad ,$

где $u_{e}\approx u_{0}$ является постоянным.

Толщина смещения не связана напрямую с толщиной пограничного слоя, а приблизительно определяется как $\delta _{1}\approx \delta /3$. Он играет важную роль в расчете коэффициента формы. Это также проявляется в различных формулах метода моментов.

Толщина импульса

Толщина импульса, $\theta$ или $\delta _{2}$, — нормальное расстояние до базовой плоскости, представляющей нижний край гипотетической невязкой жидкости с постоянной скоростью. $u_{e}$ который имеет тот же импульсный расход, что и в реальной жидкости с пограничным слоем.

Определение импульсной толщины для сжимаемого потока на основе массового расхода:

$\delta _{2}(x)=\int _{0}^{H/2}{{\rho (x,y)u(x,y) \over \rho _{e}u_{e}(x)}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)}}\,\mathrm {d} y\quad .$

Для несжимаемого потока плотность постоянна, поэтому определение, основанное на объемном расходе, становится

$\delta _{2}(x)=\int _{0}^{H/2}{{u(x,y) \over u_{e}(x)}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)}}\,\mathrm {d} y\quad ,$

где $\rho$ плотность и $u_{e}$ – «асимптотическая» скорость.

Для расчета турбулентного пограничного слоя используются усредненные по времени плотность и скорость.

Для ламинарного течения пограничного слоя вдоль плоской пластины, поведение которого соответствует условиям решения Блазиуса , толщина импульса равна

$\delta _{2}(x)\approx 0.664{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\quad ,$

где $u_{e}\approx u_{0}$ является постоянным.

Толщина импульса не связана напрямую с толщиной пограничного слоя, а приблизительно определяется как $\delta _{2}\approx \delta /6$. Он играет важную роль в расчете коэффициента формы.

Связанный параметр, называемый энергетической толщиной. иногда упоминается в отношении турбулентного распределения энергии, но используется редко.

Фактор формы

Коэффициент формы используется в потоке в пограничном слое, чтобы помочь отличить ламинарный и турбулентный поток. Это также проявляется в различных приближенных трактовках пограничного слоя, включая метод Туэйтса для ламинарных течений. Формальное определение дается формулой

$H_{12}(x)={\frac {\delta _{1}(x)}{\delta _{2}(x)}}\quad ,$

где $H_{12}$ - коэффициент формы, $\delta _{1}$ - толщина смещения и $\delta _{2}$ - толщина импульса.

Обычно, $H_{12}$ = 2,59 (пограничный слой Блазиуса) характерен для ламинарных течений, а $H_{12}$ = 1,3 – 1,4 характерно для турбулентных течений вблизи ламинарно-турбулентного перехода. Для турбулентных течений вблизи отрыва $H_{12}\approx$2.7. Разделительная линия, определяющая ламинарно-переходную и переходно-турбулентную $H_{12}$ Значения зависят от ряда факторов, поэтому не всегда являются окончательным параметром для различения ламинарных, переходных или турбулентных пограничных слоев.

Моментный метод

Относительно новый метод Для описания толщины и формы пограничного слоя используется методология математических моментов , которая обычно используется для характеристики статистических функций вероятности . Метод моментов пограничного слоя был разработан на основе наблюдения, что график второй производной пограничного слоя Блазиуса для ламинарного обтекания пластины очень похож на кривую распределения Гаусса. Следствием гауссовой формы второй производной является то, что форма профиля скорости для ламинарного потока точно аппроксимируется дважды интегрированной функцией Гаусса.

Метод моментов основан на простых интегралах профиля скорости, которые используют весь профиль, а не только несколько точек данных хвостовой области, как это происходит $\delta _{99}$. Метод моментов вводит четыре новых параметра, которые помогают описать толщину и форму пограничного слоя. Этими четырьмя параметрами являются среднее местоположение, ширина профиля скорости пограничного слоя, асимметрия и превышение профиля скорости . Асимметрия и избыток являются истинными параметрами формы, в отличие от простых параметров отношения, таких как H ₁₂ . Применение метода моментов к первой и второй производным профиля скорости генерирует дополнительные параметры, которые, например, определяют расположение, форму и толщину вязких сил в турбулентном пограничном слое. Уникальным свойством параметров метода моментов является то, что можно доказать, что многие из этих параметров скорости и толщины также являются параметрами масштабирования подобия. То есть, если подобие присутствует в наборе профилей скорости, то эти параметры толщины также должны быть параметрами масштабирования длины подобия.

Правильно масштабированный профиль скорости и его первые две производные несложно преобразовать в подходящие интегральные ядра.

Центральные моменты на основе масштабированных профилей скорости определяются как

${\zeta _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(y-m(x))^{n}{1 \over \delta _{1}(x)}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad ,$

где $\delta _{1}(x)$ — толщина смещения и среднее местоположение, $m(x)$ дается

$m(x)=\int _{0}^{H/2}{y{1 \over \delta _{1}(x)}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad .$

Есть некоторые преимущества включения описаний моментов производных профиля пограничного слоя по высоте над стеной. Рассмотрим центральные моменты профиля скорости первой производной, определяемые выражением

${\kappa _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(y-{\delta _{1}(x)})^{n}{d\{u(x,y)/u_{e}(x)\} \over dy}\mathrm {d} y}\quad ,$

где первая производная, среднее местоположение, представляет собой толщину смещения $\delta _{1}(x)$.

Наконец, центральные моменты профиля скорости второй производной определяются выражением

${\lambda _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(y-{\mu _{1}(x)})^{n}{d^{2}\{-\mu _{1}(x)u(x,y)/u_{e}(x)\} \over dy^{2}}\mathrm {d} y}\quad ,$

где вторая производная означает местоположение, $\mu _{1}(x)$, определяется

${\mu _{1}(x)}={u_{e}(x) \over \left.{\frac {du(x,y)}{dy}}\right|_{y=0}}={\upsilon u_{e}(x) \over \tau _{w}(x)}\quad ,$

где $\upsilon$ вязкость и где $\tau _{w}(x)$ стенки – напряжение сдвига . Среднее местоположение, $\mu _{1}$, для этого случая формально определяется как ue _{) ,} ( x деленный на площадь под кривой второй производной.

Приведенные выше уравнения работают как для ламинарных, так и для турбулентных пограничных слоев, если для турбулентного случая используется усредненная по времени скорость.

После определения моментов и средних положений толщину и форму пограничного слоя можно описать с точки зрения ширины пограничного слоя ( дисперсия ), асимметрии и эксцессов ( избыточный эксцесс ). Экспериментально установлено, что толщина, определяемая как $\delta _{m}=m+3\sigma _{m}$ где $\sigma _{m}=\zeta _{2}^{1/2}$, отслеживает $\delta _{99}$ очень хорошо для турбулентных течений в пограничном слое.

Принимая во внимание уравнения баланса импульса пограничного слоя , моменты второй производной пограничного слоя: ${\lambda _{n}}$ отслеживать толщину и форму той части пограничного слоя, где вязкие силы значительны. Следовательно, метод моментов позволяет отслеживать и количественно оценивать ламинарный пограничный слой и внутреннюю вязкую область турбулентных пограничных слоев, используя ${\lambda _{n}}$ моменты, тогда как толщина пограничного слоя и форма всего турбулентного пограничного слоя отслеживаются с помощью ${\zeta _{n}}$ и ${\kappa _{n}}$ моменты.

Вычисление моментов 2-й производной может оказаться проблематичным, так как при определенных условиях вторые производные могут стать положительными в самой пристеночной области (вообще она отрицательна). Это, по-видимому, имеет место для внутреннего потока с неблагоприятным градиентом давления (APG). Значения подынтегрального выражения не меняют знак в стандартной теории вероятностей, поэтому применение методологии момента к случаю второй производной приведет к смещенным измерениям момента. Простое решение заключается в исключении проблемных значений и определении нового набора моментов для усеченного профиля второй производной, начиная с минимума второй производной. Если ширина, ${\sigma _{v}}$, рассчитывается с использованием минимума в качестве среднего местоположения, то толщина вязкого пограничного слоя, определяемая как точка, в которой профиль второй производной над стенкой становится пренебрежимо малым, может быть правильно определена с помощью этого модифицированного подхода.

Для производных моментов, подынтегральные выражения которых не меняют знак, моменты можно рассчитать без необходимости брать производные, используя интегрирование по частям, чтобы свести моменты к простым интегралам на основе ядра толщины смещения, определяемого формулой

${\alpha _{n}}(x)=\int _{0}^{H/2}{y^{n}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad .$

Например, вторая производная $\sigma _{v}$ значение $\sigma _{v}={\sqrt {{-\mu _{1}}^{2}+2\mu _{1}\alpha _{0}}}$ и асимметрия первой производной, $\gamma _{1}$, можно рассчитать как

$\gamma _{1}(x)=\kappa _{3}/\kappa _{2}^{3/2}=(2\delta _{1}^{3}-6\delta _{1}\alpha _{1}+3\alpha _{2})/(2\alpha _{1}-\delta _{1}^{2})^{3/2}\quad .$

Показано, что этот параметр отслеживает изменения формы пограничного слоя, сопровождающие переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный.

Серьезную озабоченность вызывают числовые ошибки, возникающие при вычислении моментов, особенно моментов более высокого порядка. Небольшие экспериментальные или числовые ошибки могут привести к взрыву номинально свободной части подынтегрального выражения. Существуют определенные рекомендации по численному расчету. этому можно следовать, чтобы минимизировать эти ошибки.

Описание неограниченного пограничного слоя

Неограниченные пограничные слои, как следует из названия, обычно представляют собой потоки внешнего пограничного слоя вдоль стенок (и некоторые внутренние потоки с очень большими зазорами в каналах и трубах). Хотя это и не получило широкого признания, определяющей характеристикой этого типа потока является то, что профиль скорости проходит через пик вблизи края вязкого пограничного слоя, а затем медленно асимптотически достигает скорости набегающего потока u ₀ . Примером такого типа течения в пограничном слое является пристенное обтекание крыла в полете. Концепция неограниченного пограничного слоя изображена для устойчивого ламинарного течения вдоль плоской пластины на рисунке 2. Нижняя пунктирная кривая представляет место максимальной скорости u _max ( x ), а верхняя пунктирная кривая представляет место, где u ( x , y ) существу становится u ₀ , т.е. по расположение толщины пограничного слоя. В случае очень тонкой плоской пластины пик невелик, в результате чего внешний пограничный слой плоской пластины очень напоминает случай плоского канала внутреннего потока. Это привело к тому, что большая часть литературы по потокам жидкости неправильно трактовала ограниченный и неограниченный случаи как эквивалентные. Проблема с этим мышлением эквивалентности заключается в том, что максимальное пиковое значение может легко превысить 10-15% от u ₀ для обтекания крыла в полете. Различия между ограниченным и неограниченным пограничным слоем были исследованы в серии отчетов ВВС.

Пик неограниченного пограничного слоя означает, что в этом случае необходимо пересмотреть некоторые параметры толщины и формы профиля скорости, которые используются для течений во внутреннем ограниченном пограничном слое. Среди других отличий, случай ламинарного неограниченного пограничного слоя включает в себя вязкие и инерционные области с преобладанием, аналогичные турбулентным течениям в пограничном слое.

Рисунок 2: Изображение ламинарного «неограниченного» пограничного слоя вдоль двумерной плоской пластины с потоком и пластиной, простирающимися перпендикулярно плоскости xy .

Моментный метод

Для течений в внешнем неограниченном пограничном слое необходимо изменить уравнения моментов для достижения желаемой цели - оценки различных положений толщины пограничного слоя. Пиковое поведение профиля скорости означает нормализацию площади $\zeta _{n}(x)$ моменты становится проблематичным. Чтобы избежать этой проблемы, было предложено что неограниченный пограничный слой делится на вязкую и инерционную области и что толщина пограничного слоя затем может быть рассчитана с использованием отдельных интегралов момента, характерных для этой области. То есть внутреннюю вязкую область ламинарных и турбулентных областей неограниченного пограничного слоя можно отслеживать с помощью модифицированного ${\lambda _{n}}$ моменты, тогда как толщину инерционного пограничного слоя можно отслеживать с помощью модифицированных ${\zeta _{n}}$ и ${\kappa _{n}}$ моменты. Медленная скорость, с которой пик асимптоты соответствует скорости набегающего потока, означает, что рассчитанные значения толщины пограничного слоя обычно намного больше, чем в случае ограниченного пограничного слоя.

Модифицированный ${\zeta _{n}}$ и ${\kappa _{n}}$ моменты для области инерционного пограничного слоя создаются путем: 1) замены нижнего предела интеграла на положение пика скорости, обозначаемое ${\delta _{max}}$, 2) изменение верхнего предела интеграла на h , где h расположен глубоко в набегающем потоке, и 3) изменение масштаба скорости с $u_{e}$ к $u_{0}$. Толщина смещения в модифицированных моментах должна рассчитываться с использованием тех же интегральных пределов, что и модифицированные интегралы моментов. Взяв $\delta _{max}$ в качестве среднего местоположения модифицированная толщина пограничного слоя 3-сигма становится $\delta _{m}=\delta _{max}+3\sigma _{i}$ где $\sigma _{i}$ это модифицированный ${\zeta _{2}^{1/2}}$ ширина.

Модифицированный ${\lambda _{n}}$ моменты второй производной могут быть рассчитаны с использованием тех же интегралов, которые определены выше, но с $\delta _{max}$ заменив H /2 на верхний предел интеграла. Чтобы избежать числовых ошибок, некоторые рекомендации по расчетам следует следовать. Те же проблемы, которые касаются моментов второй производной в отношении ограниченных пограничных слоев APG для ограниченного случая, описанного выше, также применимы и к модифицированным моментам для неограниченного случая.

Пример модифицированных моментов показан для неограниченного течения пограничного слоя вдоль сечения крыла на рисунке 3. Эта цифра была получена на основе 2D- моделирования. для ламинарного обтекания секции крыла NACA_0012. В этот рисунок включены модифицированные 3-сигмы. $\delta _{m}$, модифицированная 3-сигма $\delta _{v}$и $\delta _{99}$ локации. Модифицированный $\delta _{m}/\delta _{99}$ значение коэффициента 311, измененное $\delta _{v}/\delta _{99}$ значение коэффициента составляет ~2, а $u_{max}$ стоимость на 9% выше, чем $u_{0}$ ценить. Большая разница между $\delta _{m}$ и $\delta _{v}$ по сравнению с $\delta _{99}$ значение свидетельствует о неадекватности $\delta _{99}$ Толщина пограничного слоя. Кроме того, большой пик скорости демонстрирует проблему с рассмотрением внутренних ограниченных пограничных слоев как эквивалентных внешним неограниченным пограничным слоям.

Рисунок 3: Профиль скорости, полученный при моделировании профиля профиля NACA0012 при x/c = 0,3.

δ _макс. толщина

Местоположение пика скорости, обозначаемого как $\delta _{max}$ является очевидным местом разграничения неограниченного пограничного слоя. Основная привлекательность этого выбора заключается в том, что это место является примерно местом раздела между вязкой и инерционной областями. Для моделирования ламинарного течения вдоль крыла: u _max, расположенный в точке δ _max, соответствует толщине вязкого пограничного слоя, определяемой как $\delta _{max}\approx \delta _{v}^{4.3}=\mu _{1}$+ $4.3\sigma _{v}$ что указывает на пики скорости чуть выше толщины вязкого пограничного слоя δ _v . Для инерционных областей как ламинарного, так и турбулентного течения $\delta _{max}$ является удобной нижней границей для моментных интегралов. Если ширина, ${\sigma _{i}}$, рассчитывается с использованием $\delta _{max}$ Тогда в качестве среднего местоположения можно правильно определить толщину пограничного слоя, определяемую как точку, в которой скорость практически становится u ₀ над стеной.

Толщина пограничного слоя 99%

Важным следствием пикового поведения является то, что толщина 99%, $\delta _{99}$, НЕ рекомендуется В качестве параметра толщины внешнего потока используется неограниченный пограничный слой, поскольку он больше не соответствует значимому пограничному слою. Это полезно только для неограниченного ламинарного течения вдоль очень тонкой плоской пластины при нулевом угле падения к направлению потока, поскольку пик в этом случае будет очень мал, а профиль скорости будет близко аппроксимироваться как случай ограниченного пограничного слоя. Для толстых стенок пластины, ненулевых углов падения или обтекания большинства твердых поверхностей избыточный поток из-за сопротивления формы приводит к появлению пристеночного пика в профиле скорости, что делает $\delta _{99}$ бесполезно.

Толщина смещения, толщина импульса и коэффициент формы

Толщина смещения, толщина импульса и коэффициент формы в принципе могут быть рассчитаны с использованием того же подхода, который описан выше для случая ограниченного пограничного слоя. Однако остроконечный характер неограниченного пограничного слоя означает, что инерционная часть толщины смещения и толщины импульса будет иметь тенденцию компенсировать пристеночную часть. Следовательно, толщина смещения и толщина импульса будут вести себя по-разному для ограниченного и неограниченного случаев. Один из вариантов заставить толщину неограниченного смещения и толщину импульса приблизительно вести себя как ограниченный случай - использовать u _max в качестве параметра масштабирования и δ _max в качестве верхнего интегрального предела.

Ссылки

• Людвиг Прандтль (1904 г.), «О движении жидкости с очень малым трением», Труды Третьего Международного конгресса математиков в Гейдельберге, 1904 г., А. Крацер, изд., Тойбнер, Лейпциг, 484–491 (1905).
• Герман Шлихтинг (1979), Теория пограничного слоя , 7-е изд., МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, США
• Суонсон, Р. Чарльз и Лангер, Стефан (2016), «Сравнение решений NACA 0012 для ламинарных потоков: методы структурированной и неструктурированной сетки», NASA/TM-2016-219003.
• Ван, Ся, Уильям К. Джордж и Лучано Кастильо (2004), «Критерий разделения турбулентных пограничных слоев посредством анализа подобия», J. of Fluids Eng., vol. 126, стр. 297–304.
• Вейберн, Дэвид (2006). «Математическое описание пограничного слоя жидкости», Applied Mathematics and Computation, vol. 175, стр. 1675–1684.
• Вейберн, Дэвид (2014). «Новые параметры толщины и формы профиля скорости пограничного слоя», Experimental Thermal and Fluid Science, vol. 54, стр. 22–28.
• Вейберн, Дэвид (2017), «Масштабирование внутреннего/внешнего подобия для двумерных турбулентных потоков, ограниченных стеной», arXiv:1705.02875 [physical.flu-dyn].
• Вейберн, Дэвид (2020a). «Модель пограничного слоя для неограниченного потока вдоль стены», Технический отчет ВВС: AFRL-RY-WP-TR-2020-0004 , номер доступа DTIC AD1091170 .
• Вейберн, Дэвид (2020b). «Модели неограниченного и ограниченного пограничного слоя для течения вдоль стены», Технический отчет ВВС: AFRL-RY-WP-TR-2020-0005 , номер доступа DTIC AD1094086 .
• Вейберн, Дэвид (2020c). «Новая концептуальная модель течения ламинарного пограничного слоя», Технический отчет ВВС: AFRL-RY-WP-TR-2020-0006 , номер доступа DTIC AD1091187 .
• Уитфилд, Дэвид (1978). «Интегральное решение сжимаемых турбулентных пограничных слоев с использованием улучшенных профилей скорости», АЭДО-ТР-78-42.

Дальнейшее чтение

• Редактор Луи Розенхеда (1963) Ламинарные пограничные слои , Clarendon Press
• Пако Лагерстром (1996) Теория ламинарного потока , Princeton University Press ISBN   978-0691025988
• Фрэнк М. Уайт , (2003) Механика жидкости , 5-е издание, McGraw-Hill