Геометрическая акустика

Геометрическая акустика или лучевая акустика — раздел акустики , изучающий распространение звука на основе понятия акустических лучей , определяемых как линии, по которым акустическая энергия . переносится ^[1] Эта концепция аналогична геометрической оптике или лучевой оптике, которая изучает распространение света с точки зрения оптических лучей . Геометрическая акустика — это приближенная теория, справедливая в предельном случае очень малых длин волн или очень высоких частот. Основная задача геометрической акустики — определение траекторий звуковых лучей. Простейшую форму лучи имеют в однородной среде , где они представляют собой прямые линии. Если акустические параметры среды являются функциями пространственных координат, траектории лучей становятся криволинейными, описывающими отражение звука, преломление, возможную фокусировку и т. д. Уравнения геометрической акустики имеют по существу тот же вид, что и уравнения геометрической оптики. Для звуковых лучей действуют те же законы отражения и преломления, что и для световых лучей. Геометрическая акустика не учитывает такие важные волновые эффекты, как дифракция . Однако он обеспечивает очень хорошее приближение, когда длина волны очень мала по сравнению с характерными размерами неоднородных включений, через которые распространяется звук.

Математическое описание

Приведенное ниже обсуждение принадлежит Ландау и Лифшицу. ^[2] Если амплитуда и направление распространения медленно меняются с расстоянием длины волны, то произвольную звуковую волну можно локально аппроксимировать как плоскую волну. В этом случае потенциал скорости можно записать как

\phi =\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }

Для плоской волны $\psi ={\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega t+\alpha$ , где ${\boldsymbol {k}}$ - вектор постоянного волнового числа, $\omega$ постоянная частота, ${\boldsymbol {r}}$ - радиус-вектор, $t$ это время и $\alpha$ — некоторая произвольная комплексная константа. Функция $\psi$ называется эйконал . Мы ожидаем, что эйконал будет медленно меняться с координатами и временем, соответствующими приближению, тогда в этом случае разложение в ряд Тейлора дает

\psi =\psi _{o}+{\boldsymbol {r}}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial {\boldsymbol {r}}}}+t{\frac {\partial \psi }{\partial t}}.

Приравнивая два термина для $\psi$ , можно найти

{\boldsymbol {k}}={\frac {\partial \psi }{\partial {\boldsymbol {r}}}},\quad \omega =-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}

Для звуковых волн соотношение $\omega ^{2}=c^{2}k^{2}$ держится, где $c$ это скорость звука и $k$ - величина вектора волнового числа. Следовательно, эйконал удовлетворяет нелинейному уравнению в частных производных первого порядка ,

\left({\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)^{2}=0.

где $c$ может быть функцией координат, если жидкость неоднородна. Приведенное выше уравнение аналогично уравнению Гамильтона – Якоби , где эйконал можно рассматривать как действие . Поскольку уравнение Гамильтона–Якоби эквивалентно уравнениям Гамильтона , по аналогии находим, что

{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {k}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial \omega }{\partial {\boldsymbol {r}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \omega }{\partial {\boldsymbol {k}}}}

Практическое применение

Практическое применение методов геометрической акустики можно найти в самых разных областях акустики. Например, в архитектурной акустике прямолинейные траектории звуковых лучей позволяют реверберации очень просто определить время . Работа саженцев и гидролокаторов основана на измерении времени, необходимого звуковым лучам для прохождения до отражающего объекта и обратно. Концепция луча используется при проектировании систем фокусировки звука. Также приближенная теория распространения звука в неоднородных средах (таких как океан и атмосфера ) разработана в основном на основе законов геометрической акустики. ^[3]^[4]

Методы геометрической акустики имеют ограниченную область применения, так как сама лучевая концепция справедлива лишь для тех случаев, когда амплитуда и направление волны мало изменяются на расстояниях порядка длины волны звуковой волны . Точнее, необходимо, чтобы размеры помещений или препятствий на пути звука были значительно больше длины волны . Если характерные размеры для данной задачи становятся сравнимыми с длиной волны, то важную роль начинает играть дифракция волн, а это не охватывается геометрической акустикой. ^[1]

Программные приложения

Концепция геометрической акустики широко используется в программных приложениях . Некоторые программные приложения, использующие геометрическую акустику для своих расчетов, — это ODEON, Enhanced Acoustic Simulator for Engineers , Olive Tree Lab Terrain и COMSOL Multiphysicals .

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б «Геометрическая акустика» . Бесплатный словарь . Проверено 29 ноября 2011 г.
^ Ландау, Л.Д., и Сайкс, Дж.Б. (1987). Механика жидкости: Том 6.
^ Урик, Роберт Дж. Принципы подводного звука, 3-е издание. Нью-Йорк. МакГроу-Хилл, 1983 год.
^ CH Харрисон, Модели распространения в океане, Applied Acoustics 27, 163-201 (1989).

Внешние ссылки

[tfd-1] Jump up to: ^а ^б «Геометрическая акустика» . Бесплатный словарь . Проверено 29 ноября 2011 г.

[2] Ландау, Л.Д., и Сайкс, Дж.Б. (1987). Механика жидкости: Том 6.

[3] Урик, Роберт Дж. Принципы подводного звука, 3-е издание. Нью-Йорк. МакГроу-Хилл, 1983 год.

[4] CH Харрисон, Модели распространения в океане, Applied Acoustics 27, 163-201 (1989).

[1]

[2]

[3]

[4]